演習問題：関数 \(y=ax^2\)

\(\boldsymbol{1.}\) の答え＞

\(\boldsymbol{2.}\)　次の問いに答えなさい。
\((1)\)　\(y\) が \(x\) の \(2\) 乗に比例し、\(x=-3\) のとき \(y=63\) であるとき、\(y\) を \(x\) の式で表しなさい。
\((2)\)　\(y\) が \(x\) の \(2\) 乗に比例し、\(x=-4\) のとき \(y=8\) であるとき、\(y\) を \(x\) の式で表しなさい。
\((3)\)　\(y\) が \(x\) の \(2\) 乗に比例し、\(x=3\) のとき \(y=18\) である。
　ア　\(y\) を \(x\) の式で表しなさい。
　イ　\(x=4\) のときの \(y\) の値を求めなさい。
\((4)\)　\(y\) が \(x\) の \(2\) 乗に比例し、\(x=-4\) のとき \(y=10\) である。
　ア　\(y\) を \(x\) の式で表しなさい。
　イ　\(x=-2\) のときの \(y\) の値を求めなさい。
\((5)\)　円の半径がもとの円の \(5\) 倍になるとき、面積はもとの面積の何倍になるか。

\(\boldsymbol{2.}\) の答え＞

\(\boldsymbol{3.}\)　図の \(y=ax^2\) のグラフは、\(x\) 座標が \(-2\) の点 \(A\) と \(x\) 座標が \(4\) の点 \(B\) を通り、それぞれの点の \(y\) 座標の差が \(15\) であるとき、\(a\) の値を求めなさい。

\(\boldsymbol{3.}\) の答え＞

\(\boldsymbol{4.}\)　関数 \(y=ax^2\) において、\(x=3\) のとき \(y=6\) である。\(x\) の変域が \(-6 \leqq x \leqq 1\) のとき、\(y\) の変域を答えなさい。

\(\boldsymbol{4.}\) の答え＞

\(\boldsymbol{5.}\)　
\((1)\)　\(2\) 乗に比例する関数 \(y=2x^2\) において、\(x\) の値が \(1\) から \(4\) まで変化するときの変化の割合を求めなさい。
\((2)\)　\(2\) 乗に比例する関数 \(y=-3x^2\) において、\(x\) の値が \(-4\) から \(1\) まで変化するときの変化の割合を求めなさい。
\((3)\)　\(2\) 乗に比例する関数 \(y=-\cfrac{3}{4}x^2\) において、\(x\) の値が \(2\) から \(4\) まで変化するときの変化の割合を求めなさい。
\((4)\)　関数 \(y=ax^2\) において、\(x\) の値が \(1\) から \(5\) まで変化するときの変化の割合が \(2\) のとき、\(a\) の値を求めなさい。
\((5)\)　関数 \(y=ax^2\) において、\(x\) の値が \(3\) から \(6\) まで変化するときの \(y\) の増加量が \(6\) のとき、\(a\) の値を求めなさい。

\(\boldsymbol{5.}\) の答え＞

\(\boldsymbol{6.}\)　図のように、関数 \(y=\cfrac{1}{4}x^2\) のグラフ上に、\(A,\;B\) がある。点 \(A,\;B\) の \(x\) 座標は、それぞれ \(-6\;\;2\) である。点 \(O\) を通り、\(\triangle OAB\) の面積を二等分する直線の式を求めなさい。

\(\boldsymbol{6.}\) の答え＞

解　説

\(\boldsymbol{2.}\)　\(y=ax^2\) の式に \(x,\;y\) を代入して比例定数を求める
\((1)\)　\(y=ax^2\) において、\(x=-3\) のとき、\(y=63\) であるから、
\(63=(-3)^2 \cdot a \quad 9a=63 \quad a=7\)
\((2)\)　\(y=ax^2\) において、\(x=-4\) のとき、\(y=8\) であるから、
\(8=(-4)^2 \cdot a \quad 16a=8 \quad a=\cfrac{1}{2}\)
\((3)\)　\(y=ax^2\) において、\(x=3\) のとき、\(y=18\) であるから、
\(18=(3)^2 \cdot a \quad 9a=18 \quad a=2\)
\((4)\)　\(y=ax^2\) において、\(x=-4\) のとき、\(y=10\) であるから、
\(10=(-4)^2 \cdot a \quad 16a=10 \quad a=\cfrac{5}{8}\)
\((5)\)　半径 \(r\) の円の面積を \(S\) とすれば、\(S=\pi r^2\)
もとの半径の \(5\) 倍は \(5r\) だから、面積は、\(S=\pi r^2\) に対して、\(S'=\pi(5r)^2=25\pi\) である

\(\boldsymbol{3.}\)　\(y=ax^2\) の式に \(x,\;y\) を代入して比例定数を求める
問題文より、点 \(B\) の \(y\) 座標から点 \(A\) の \(y\) 座標を引いた値が \(15\) と考えられる
\(y=ax^2\) において、点 \(A\) の \(y\) 座標 \(=a(2)^2=4a\;――\;1\)
同じく、点 \(B\) の \(y\) 座標 \(=a(4)^2=16a\;――\;2\)
よって、\(16a-4a=15 \quad 12a=15 \quad a=\cfrac{5}{4}\)

\(\boldsymbol{4.}\)
関数　\(y=ax^2\) において、問題文より、
\begin{eqnarray} & &3^2 \cdot a=6 \quad 9a=6\\[7px] & &a=\frac{2}{3}\\[7px] & &\small{よって、}\;\normalsize{y=\frac{2}{3}x^2}\;\small{において、}\\[7px] & &x=-6\;\small{のとき、}\\[7px] & &y=\frac{2}{3} \cdot (-6)^2\\[7px] & &\hspace{34px}=\frac{2}{3} \cdot 36=24\\[15px] & &x=1\;\small{のとき、}\\[7px] & &y=\frac{2}{3} \cdot (1)^2=\frac{2}{3}\\[7px] \end{eqnarray}
図より、\(x\) の取り得る範囲に \(0\) が含まれるから、
\begin{eqnarray} & &x=0\;\small{のとき、}\\[7px] & &y=\frac{2}{3} \cdot (0)^2=0 \end{eqnarray}
よって、\(x=0\) のとき、\(y\) が最小値をとる

\(\boldsymbol{5.}\)　\(2\) 乗に比例する関数の変化の割合を求める公式
\[\small{比例定数}\;\normalsize{\times (x}\;\small{の変化前の値}\;\normalsize{+x}\;\small{の変化後の値})\]
を利用します
\begin{eqnarray} & &(1) \quad 2 \times (1+4)=2 \times 5\\[7px] & &\hspace{51px}=10\\[15px] & &(2) \quad (-3) \times (-4+1)=(-3) \times (-3)\\[7px] & &\hspace{51px}=9\\[15px] & &(3) \quad (-\frac{3}{4}) \times (2+4)=(-\frac{3}{4}) \times (6)\\[7px] & &\hspace{51px}=-\frac{9}{2}\\[15px] & &(4) \quad a(1+5)=2\;\small{より、}\\[7px] & &\hspace{51px}6a=2 \quad a=\frac{1}{3}\\[15px] & &(5) \quad (6)^2a-(3)^2a=6\;\small{より、}\\[7px] & &\hspace{51px}36a-9a=6 \quad 27a=6\\[7px] & &\hspace{51px}a=\frac{6}{27}=\frac{2}{9} \end{eqnarray}

\(\boldsymbol{6.}\)
図のように、\(\triangle OAB\) の底辺を \(AB\) とし、\(AB\) の中点を \(M\) とすれば、\(\triangle OAM=\triangle OMB\) となるような直線 \(OM\) が\(\triangle OAB\) を二等分すると考えます。座標 \(A(2, \hspace{12px} 1)\) と \(B(-6, \hspace{9px} 9)\) より、\(M\) の座標は、
\begin{eqnarray} & &M=\left(\cfrac{2-6}{2}, \hspace{9px} \cfrac{1+9}{2}\right)\\[7px] & &\hspace{51px}=\left(\cfrac{-4}{2}, \hspace{9px} \cfrac{10}{2}\right)=(-2, \hspace{9px} 5) \end{eqnarray}
よって、直線 \(OM\) の式は、原点を通るので、
\begin{eqnarray} & &y=ax\;\small{より、}\\[7px] & &5=-2a \quad a=-\frac{5}{2}\\[7px] & &\therefore\;\;y=-\frac{5}{2}x \end{eqnarray}