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演習問題：多項式

• \(\boldsymbol{1.}\)　次の式を展開しなさい。

• \(\boldsymbol{2.}\)　次の式を展開しなさい。

• \(\boldsymbol{3.}\)　次の式を展開しなさい。

• \(\boldsymbol{4.}\)　次の式を因数分解しなさい。

• \(\boldsymbol{5.}\)　次の式を因数分解しなさい。

• \(\boldsymbol{6.}\)　次の問いに答えなさい。
• \((1)\)　\(x^2+18x+m\) を因数分解すると、\((x+5)(x+a)\) となった。このとき、\(a,\) \(m\) の値を求めなさい。
• \((2)\)　\(x^2-3x+m\) を因数分解すると、\((x-8)(x+a)\) となった。このとき、\(a,\) \(m\) の値を求めなさい。
• \((3)\)　因数分解できる多項式 \(x^2+mx+24\) において、\(m\) が自然数であるとき、当てはまる \(m\) の値をすべて答えなさい。
• \((4)\)　因数分解できる多項式 \(x^2+mx-30\) において、\(m\) が自然数であるとき、当てはまる \(m\) の値をすべて答えなさい。
• \((5)\)　\(x^2+mx+12\) を因数分解すると、\((x+a)(x+b)\) となる。\(a,\) \(b,\) \(m\) がすべて整数であるとき、\(m\) の値をすべて答えなさい。
• \((6)\)　\(x^2+mx-18\) を因数分解すると、\((x+a)(x+b)\) となる。\(a,\) \(b,\) \(m\) がすべて整数であるとき、\(m\) の値をすべて答えなさい。

• \(\boldsymbol{7.}\)　次のことがらを説明しなさい。
• \((1)\)　\(2\) つの連続する奇数の平方の差は \(8\) の倍数になる
• \((2)\)　\(3\) つの連続する偶数において、\(1\) 番大きい数の平方から残りの \(2\) 数の積を引いた差は \(4\) の倍数になる。
• \((3)\)　\(3\) つの連続する整数のうち、\(1\) 番大きい数の\(2\) 乗は残りの \(2\) 数の積より \(28\) 大きいとき、この\(3\) つの数を答えなさい。

解　説

• \(\boldsymbol{2.}\)
• \((4) \quad 3x+2y=A\) に置きかえて、
• \begin{eqnarray} & &(A+4)^2=A^2+8A+16\;\small{より、}\\[7px] & &(3x+2y)^2+8(3x+2y)+16\\[7px] & &\hspace{51px}=9x^2+12xy+4y^2+24x+16y+16\\[7px] \end{eqnarray}
• \((7) \quad m+n=A\) に置きかえて、
• \begin{eqnarray} & &(A+8)(A-8)\;\small{より、}\\[7px] & &A^2-64=(m+n)^2-64\\[7px] & &\hspace{51px}=m^2+2mn+n^2-64 \end{eqnarray}

• \(\boldsymbol{3.}\)　\(3\) 数以上の展開では、\(2\) 数にまとめて整理する
• \begin{eqnarray} & &(1) \quad (x-y+5)^2=(A+5)^2\;\small{より、}\\[7px] & &\hspace{51px}A^2+10A+25\\[7px] & &\hspace{59px}=(x-y)^2+10(x-y)+25\\[7px] & &\hspace{59px}=x^2-2xy+y^2+10x-10y+25\\[15px] & &(2) \quad a+b,\;a-b\;\small{をまとめて、}\\[7px] & &\hspace{51px}(a+b)(a-b)+7(a+b)+3(a-b)+21\\[7px] & &\hspace{59px}=a^2-b^2+7a+7b+3a-3b+21\\[7px] & &\hspace{59px}=a^2-b^2+10a+4b+21\\[15px] & &(3) \quad (x+y)^2-4(x+y)-5-(x^2-2xy+y^2)\\[7px] & &\hspace{59px}=x^2+2xy+y^2-4x-4y-5-x^2+2xy-y^2\\[7px] & &\hspace{59px}=4xy-4x-4y-5\\[15px] \end{eqnarray}

• \(\boldsymbol{4.}\)
• 因数分解の手順は、・共通因数をくくり出す　・乗法公式に当てはめる　の \(2\) つ
• \(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\) へは、たすきがけの因数分解を用いる
• \begin{array}{cccccc} (1) & 1 & & 3 & \longrightarrow & 3 &\\ & & \LARGE{\times} & & & &\\ & 1 & & 5 & \longrightarrow & 5 &\\ \hline & 1 & & 15 & & 3+5 & \end{array}
• \begin{array}{cccccc} (2) & 1 & & 2 & \longrightarrow & 3 &\\ & & \LARGE{\times} & & & &\\ & 1 & & 3 & \longrightarrow & 3 &\\ \hline & 1 & & 6 & & 3+3 & \end{array}
• \begin{array}{cccccc} (3) & 1 & & 3 & \longrightarrow & 3 &\\ & & \LARGE{\times} & & & &\\ & 1 & & 4 & \longrightarrow & 4 &\\ \hline & 1 & & 12 & & 3+4 & \end{array}
• \begin{array}{cccccc} (4) & 1 & & 7 & \longrightarrow & 7 &\\ & & \LARGE{\times} & & & &\\ & 1 & & 7 & \longrightarrow & 7 &\\ \hline & 1 & & 49 & & 7+7 & \end{array}
• \begin{array}{cccccc} (5) & 1 & & 2 & \longrightarrow & 2 &\\ & & \LARGE{\times} & & & &\\ & 1 & & 7 & \longrightarrow & 7 &\\ \hline & 1 & & 14 & & 2+7 & \end{array}
• \begin{array}{cccccc} (6) & 1 & & 3 & \longrightarrow & 3 &\\ & & \LARGE{\times} & & & &\\ & 1 & & 10 & \longrightarrow & 10 &\\ \hline & 1 & & 30 & & 3+10 & \end{array}

• \(\boldsymbol{5.}\)
• \((1) \quad x^2-1\;\rightarrow\) 和と差の積 \(\rightarrow\;(x+1)(x-1)\) より、
• \[49x^2-1=(7x+1)(7x-1)\]
• \((2)\)　共通因数をくくり出して、\(4abc(2a-3b+c)\)
• \((3)\)　たすきがけの因数分解より、
• \begin{array}{ccccc} 3 & & 3 & \longrightarrow & 9 &\\ & \LARGE{\times} & & & &\\ 2 & & -1 & \longrightarrow & -2 &\\ \hline 6 & & -15 & & 9-2 & & \end{array}
• \((4)\)　共通因数をくくり出して、
• \[4p(x^2-6x+9)=4p(x-3)^2\]
• \((5) \quad x+5\) をまとめて、
• \begin{array}{ccccc} 1 & & 9 & \longrightarrow & 9 &\\ & \LARGE{\times} & & & &\\ 1 & & -11 & \longrightarrow & -11 &\\ \hline 1 & & -99 & & 9-11 & & \end{array}
• \begin{eqnarray} & &\small{よって、}\\[7px] & &(x+5+9)(x+5-11)=(x+14)(x-6) \end{eqnarray}
• \((6)\)　和と差の積より、
• \begin{eqnarray} & &\{(x+b)+(y+8)\}\{(x+b)-(y+8)\}\\[7px] & &\hspace{51px}=(x+b+y+8)(x+b-y-8) \end{eqnarray}
• \((7)\quad (x-y)^2-(3)^2\) より、
• \[(x-y+3)(x-y-3)\]
• \((8)\quad (x+5)^2-(5y)^2\) より、\((x+5+5y)(x+5-5y)\)

• \(\boldsymbol{6.}\)
• \((1) \quad (x+5)(x+a)\) において、\(a+5=18\) より、
• \begin{eqnarray} & &a=18-5=13\\[7px] & &m=5 \times 13=65 \end{eqnarray}
• \((2) \quad (x-8)(x+a)\) において、\(a-8=-3\) より、
• \begin{eqnarray} & &a=-3+8=5\\[7px] & &m=(-3) \times 5=-15 \end{eqnarray}
• \((4)\)　掛けて \(-30,\) 足して正の整数になる組み合わせを探す
• \begin{eqnarray} & &(-1, \hspace{10px} 30),\;(-2, \hspace{10px} 15),\;(-3, \hspace{10px} 10),\;(-5, \hspace{10px} 6)\\[7px] & &\therefore\quad m=1,\quad 7,\quad 13,\quad 29 \end{eqnarray}
• \((5)\)　掛けて \(12\) になる \(a,\;b\) の組は、
• \begin{eqnarray} & &(1, \hspace{11px} 12),\;(2, \hspace{12px} 6),\;(3, \hspace{12px} 4),\;(-1, \hspace{8px} -12),\;(-2, \hspace{9px} -6),\;(-3, \hspace{9px} -4)\\[7px] & &\therefore\quad m=7,\quad 8,\quad 13,\quad -7,\quad -8,\quad -13 \end{eqnarray}
• \((6)\)　掛けて \(-18\) になる \(a,\;b\) の組は、
• \begin{eqnarray} & &(-1, \hspace{11px} 18),\;(-2, \hspace{12px} 9),\;(-3, \hspace{12px} 6),\;(1, \hspace{8px} -18),\;(2, \hspace{9px} -9),\;(3, \hspace{9px} -6)\\[7px] & &\therefore\quad m=3,\quad 7,\quad 17,\quad -3,\quad -7,\quad -17 \end{eqnarray}