\(\boldsymbol{1}\) 次関数の式の決定
\(1\) 次関数 \(y=ax+b\) において、\(a,\;b\) は定数なので、その数がわかれば式を求めることができます。式の求め方には大きく分けて、| \(\boldsymbol{1})\) 傾きと他の \(\boldsymbol{1}\) 点から求める方法 |
| \(\boldsymbol{2})\) \(\boldsymbol{2}\) 点から求める方法 |
傾きと他の \(\boldsymbol{1}\) 点から式を求める
傾きが \(\boldsymbol{2}\) で、\(\boldsymbol{x=1}\) のとき \(\boldsymbol{y=-2}\) となる \(1\) 次関数の式を求めましょう。 この場合、| ・ | \(1\) 次関数 \(y=ax+b\) の傾きは \(\boldsymbol{a=2}\) |
| ・ | \(x=1\) のとき \(y=-2\) になる直線は点 \(\boldsymbol{(1,\hspace{10px}-2)}\) を通る |
| \(⇒\) | \(y=2x+b\) の式に \(\boldsymbol{x=1,\;y=-2}\) を代入する |
\(\boldsymbol{2}\) 点から式を求める
\(\boldsymbol{2}\) 点 \(\boldsymbol{(-4,\hspace{8px}5),\; (3,\hspace{8px}-16)}\) を通る \(1\) 次関数の式を求めましょう。 この方法では| \(\small{①}\) 変化の割合を見出す方法 | \(\small{②}\) 連立方程式を利用する方法 |
| \(\small{\mathbf{変化の割合}}\;=\;\cfrac{\boldsymbol{y}\; \small{\mathbf{の増加量}}}{\boldsymbol{x}\; \small{\mathbf{の増加量}}}\) | \(\;=\;\cfrac{\boldsymbol{y}\; \small{\mathbf{の変化後の値}}-\boldsymbol{y}\; \small{\mathbf{の変化前の値}}}{\boldsymbol{x}\; \small{\mathbf{の変化後の値}}-\boldsymbol{x}\; \small{\mathbf{の変化前の値}}}\) |
| 変化の割合 |
| \(=\{(-16)-(+5)\} \div \{(+3)-(-4)\}\) |
| \(=(-21) \div (+7)\) |
| \(=-3\) |
\(y=-3x+b\) の式に \(x=-4,\;y=5\) を代入して、 \begin{eqnarray} 5&=&-3 \times (-4)+b\\ 5&=&12+b\\ b &=&5-12\\ &=&-7 \end{eqnarray} ∴ この直線の式は \(\boldsymbol{\color{blue}{y=-3x-7}}\) \(\small{②}\) 連立方程式を利用する方法
変化の割合を求めず、\(2\)点の値を \(y=ax+b\) の式に代入して連立方程式をつくり、これを解いて定数 \(a,\;b\) を求めます。 \(y=ax+b\) において、 \(\boldsymbol{x=-4}\) のとき \(\boldsymbol{y=5}\) であるから \[\color{darkblue}{\boldsymbol{5=-4a+b}}\; \small{――\; ①}\] \(\boldsymbol{x=3}\) のとき \(\boldsymbol{y=-16}\) であるから \[\color{darkblue}{\boldsymbol{-16=3a+b}}\; \small{――\; ②}\] \(\small{①②}\) を加減法で解き、\(\small{①}\;-\;\small{②}\) より \(\boldsymbol{b}\) を消去します \begin{eqnarray} 21&=&-7a\\ a &=& -3\\[12px] a &=& -3\;を\; \small{①\; の式に代入して、}\\ 5&=& -4 \times (-3)+b\\ 5&=& 12+b\\ b&=& 5-12\\ &=& \boldsymbol{-7} \end{eqnarray} ∴ この直線の式は \(\color{blue}{\boldsymbol{y=-3x-7}}\) これとは別に、\(1\)次関数のグラフから、定数 \(a,\;b\) を求める（直線の式を求める）方法もあります。下図において、\(1\) 次関数 ア、イ の式を求めましょう。
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演 習 |
| \((1)\) | 傾きが \(3\) で、\(x=2\) のとき \(y=1\) である |
| \((2)\) | 傾きが \(-3\) で、点 \((1,\hspace{10px}2)\) を通る |
| \((3)\) | 変化の割合が \(4\) で点 \((2,\hspace{10px}-6)\) を通る |
| \((4)\) | \(2\)点 \((1,\hspace{10px}3),\;(3,\hspace{10px}11)\) を通る |
| \((5)\) | \(2\)点 \((-6,\hspace{10px}1),\;(9,\hspace{10px}-9)\) を通る |
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変 域
直線の傾きと切片
変域について学習する前に、直線 \(y=ax+b\) について詳しく見ていきます。 座標平面上の \(y=ax+b\) と\(y\) 軸の交点を切片といい、\(x\) 軸との交点を \(x\) 切片、\(y\) 軸との交点を \(y\) 切片といいます。特に、\(1\) 次関数 \(y=ax+b\) においては、 \(\boldsymbol{a}\) を \(x\) 切片、\(\boldsymbol{b}\) を \(y\) 切片といいます。 次のグラフを見て下さい。 |
| \(\boldsymbol{a}\) :傾いていない \(\boldsymbol{b}\) :小さいく傾く \(\boldsymbol{c}\) :大きく傾く |
| \(x\) の増加量に対する \(y\) の増加量の割合 \(=\) 変化の割合 |
| 傾き \(=\cfrac{\boldsymbol{y} \small{\mathbf{の増加量}}}{\boldsymbol{x} \small{\mathbf{の増加量}}}\;=\;\small{\mathbf{変化の割合}}\;\normalsize{=\color{blue}{\boldsymbol{\large{a}}}}\) |
| 直線 \(y=-\cfrac{1}{2}x+4\) | ：傾き \(\boldsymbol{\color{crimson}{=-\cfrac{1}{2}}}\) 切片 \(\boldsymbol{\color{crimson}{=4}}\) の直線 |
| 直線 \(y=2x-7\) | ：傾き \(\boldsymbol{\color{crimson}{=2}}\) 切片 \(\boldsymbol{\color{crimson}{=-7}}\) の直線 |
変 域
変域は、グラフの範囲のことです。 \(1\) 次関数のグラフをかいたとき、横の範囲を「\(\boldsymbol{x}\) の変域」、たての範囲を 「\(\boldsymbol{y}\) の変域」といいます。\(1\) 次関数 \(y=x-4\) において、 \(x\) の変域が \(-1 ≦ x ≦ 3\) のとき、\(y\) の変域を求めてみましょう。 まず、 グラフをかきます。 \(y=x-4\) は
| 傾き\(\;\boldsymbol{=a=\color{blue}{1}}\) | ：切片\(\;\boldsymbol{=b=\color{blue}{-4}}\) |
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| 傾き\(\;\boldsymbol{=a=\color{blue}{-\cfrac{2}{3}}}\) | ：切片\(\;\boldsymbol{=b=\color{blue}{3}}\) |
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| 「\(x,\;y\) の変域を \(1\) 辺とする長方形の対角線」 |