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式の展開「乗法公式」

多項式の展開は、分配法則を基本にして 4つの「乗法公式」を理解します。

多項式 主な学習のポイント
・多項式の展開:4つの乗法公式をマスターする
・因数分解の仕方をマスターする
・式の展開や因数分解の応用問題攻略のコツを覚える
この項目についてお聞きになりたいことは、 「*ご質問・お問わせ」からお願いします

式の展開

a(b + c) や (a + b)(c + d) の式のカッコをはずして、 1つの多項式で表すことをもとの式を展開するといいます。式の展開には分配法則を使います。


a(b + c) の展開

カッコをはずすため、b, c それぞれに a を掛けます
 a(b + c) = a × c + a × c = ac + ac

-5(y - 7)
= (-5) × (y) + (-5) × (-7)
= -5y + 30

(a + b)(c + d) の展開

多項式のすべての項どうしを掛け合わせて展開します。

このように a を c と d の両方に、b を c と d の両方にそれぞれ掛けます
 = ac + ad + bc + bd

多項式の計算は、分配法則を利用した式の展開が基本になり、次の4つの乗法公式があります。


1. (x+ a)(x + b) の公式

それぞれの多項式に共通の項がある式の展開では、

前の項の2乗 + (後の項の和×前の項) + 後の項の積

の形になり

日本語で展開の仕方を頭の中に入れたなら、数式を見てすぐに展開できるように訓練します。


2. 平方公式①:(x + a)2

和の平方 (x + a)2 の式を展開する場合、
 (x + a)2 = (x + a)(x + a)
の形にしてから、① の公式を使って、

よって、和の平方公式は次のようになります。

前の項の2乗 + 2(後の項 × 前の項) + 後の項の2乗

3. 平方公式②:(x - a)2

差の平方 (x - a)2 の式において、
 (x - a)2 = (x - a)(x - a)
の形にしてから展開すると、
 (x - a)(x - a)
 = x × x + x × (-a) + (-a) × x + (-a) × (-a)
 = x2 - (a + a)x + a2
 = x2 - 2ax + a2

差の平方では

前の項の2乗 - 2(後の項 × 前の項) + 後の項の2乗

の公式が成り立ちます。


4.和と差の積

展開の仕方はこれまでと同じく、分配法則を利用します。①の公式を使って展開すると、

多項式の前後の項がそれぞれ共通で符号だけが異なる形では、「後の項の和 = 0」となるので、

(前の項の2乗) - (後の項の2乗)

という公式が成り立ちます。


「3数」 の展開

多項式の項は1つや2つばかりではなく、3つ以上の場合もあります。(a + b)(x + y + z) のような式においても分配法則を利用することに変わりはなく、 掛け合わせる数が増えるだけです。

a, b をそれぞれ x, y, z に掛けます。

(a + b + c)(x + y + z)
 ―― a, b, c をそれぞれ x, y, z に掛けます


例 題

次の式を展開してみましょう。

(1) (x - 4)2 (2) (x + y + z)2
(3) (x - 5)(x - 3) (4) -(x - 4)(x - 6)

(1) 「平方公式」を利用して、

(x - 4)2
 = x2 + 2 × (-4) × x + (-4)
 = x2 - 8x + 16

(2) 「平方公式」を利用しますが、3数あるのでひと工夫します。
 たとえば、 x + y = A に置きかえて2数の平方に直して、

(A + z)2
 = A2 + 2Az + z2
A をもとにもどして、
 =(x + y)2 + 2(x + y) × z + z2
 = x2 + 2xy + y2
 + 2xz + 2yz + z2

= x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz

(3) (x + a)(x + b) の公式を用いてそれぞれ展開します。
 (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab より、

(x - 5)(x - 3)
 = x2 + {(-5) + (-3)}x
 + (-5) × (-3)
= x2 - 8x + 15

マイナスの符号の計算では、カッコでくくっておきます

(4) マイナスの符号に注意をしましょう。

-(x - 4)(x - 6)
= -{x2 -(4 + 6)x + (-4) × (-6)}
= -{x2 - 10x + 24}
= -x2 + 10x - 24

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