高校入試[英語・数学]|多項式：式の展開

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式の展開

多項式や単項式の積の形を \(\boldsymbol{1}\) つの多項式で表すことを式の展開といいます。展開の基本は、分配法則を用いて順々に計算しますが、展開の代表的な公式（乗法公式）を利用すれば、より速く展開が可能になります。

多項式　主な学習のポイント
・\(\boldsymbol{4}\) つの乗法公式について
・因数分解の仕方をマスターする
・式の展開や因数分解の応用問題
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乗法公式

\(a(b+c)\) や \((a+b)(c+d)\) のような多項式や単項式の積の形の式のカッコをはずして、 \(1\) つの多項式で表すことをもとの式を展開するといいます。式の展開には分配法則を利用します。

\(\boldsymbol{a(b+c)}\) の式の展開

分配法則を利用して、\(b,\;c\) それぞれに \(a\) を掛けます \begin{eqnarray} & &a(b+c)=a \times c+a \times c\\[5px] & &=\boldsymbol{ac+ac}\\[5px] & &\small{より、}\\[5px] & &-5(y-7)=(-5) \times (y)+(-5) \times (-7)\\[5px] & &=\boldsymbol{-5y+30} \end{eqnarray}

\(\boldsymbol{(a+b)(c+d)}\) の式の展開

多項式のすべての項どうしを掛け合わせて展開します。

\begin{eqnarray} & &→\\[5px] & &=\boldsymbol{\color{blue}{ac+ad+bc+bd}} \end{eqnarray} \(a\) を \(c\) と \(d\) の両方に、\(b\) を \(c\) と \(d\) の両方に掛けます多項式の計算は、分配法則を利用した式の展開が基本になり、次の \(4\) つの乗法公式があります。

\(\boldsymbol{1.\hspace{5px}(x+a)(x+b)}\) の公式

それぞれの多項式に共通の項がある式の展開では、

前の項の \(\boldsymbol{2}\) 乗\(\boldsymbol{\;+(}\)後の項の和 \(\boldsymbol{\times}\) 前の項\(\boldsymbol{)+}\;\)後の項の積

の形になり

\begin{eqnarray} & &→\\[7px] & &=x^2+bx+ax+ab\\[7px] & &=\boldsymbol{\color{blue}{x^2+(a+b)x+ab}} \end{eqnarray}

展開の仕方を頭の中に入れたなら、数式を見てすぐに展開できるように訓練します。

\(\boldsymbol{2.}\) 平方公式 \(\boldsymbol{1:(x+a)^2}\)

和の平方\(:(x+a)^2\) の式を展開する場合、 \[(x+a)^2=(x+a)(x+a)\] の形にしてから、

よって、和の平方公式は次のようになります。 \begin{eqnarray} & &→\\[5px] & &=x^2+ax+ax+a^2\\[5px] & &=\boldsymbol{\color{blue}{x^2+2ax+a^2}} \end{eqnarray}

前の項の \(\boldsymbol{2}\) 乗 \(\boldsymbol{+2(}\)後の項 \(\boldsymbol{\times}\) 前の項\(\boldsymbol{)+}\;\)後の項の \(\boldsymbol{2}\) 乗

\(\boldsymbol{3.}\) 平方公式 \(\boldsymbol{2:(x-a)^2}\)

差の平方\(:(x-a)^2\) の式において、 \[(x-a)^2=(x-a)(x-a)\] の形にしてから展開すると、

\begin{eqnarray} & &→\\[5px] & &=x^2-(a+a)x+a^2\\[5px] & &=\boldsymbol{\color{blue}{x^2-2ax+a^2}} \end{eqnarray} 差の平方では

前の項の \(\boldsymbol{2}\) 乗\(\boldsymbol{}\;-2(\)後の項 \(\boldsymbol{\times}\) 前の項\(\boldsymbol{)+}\;\)後の項の \(\boldsymbol{2}\) 乗

の公式が成り立ちます。

\(\boldsymbol{4.}\) 和と差の積

展開の仕方はこれまでと同じく、分配法則を利用します。\(1\) の公式を使って展開すると、

\begin{eqnarray} & &→\\[5px] & &=x^2-ax+ax-a^2\\[5px] & &=x^2+(a-a)x+a^2\\[5px] & &=\boldsymbol{\color{blue}{x^2-a^2}} \end{eqnarray} 多項式の前後の項がそれぞれ共通で符号だけが異なる形では、後の項の和 \(\boldsymbol{=0}\)となるので、

\(\boldsymbol{(}\)前の項の \(\boldsymbol{2}\) 乗\(\boldsymbol{)-(}\)後の項の \(\boldsymbol{2}\) 乗\(\boldsymbol{)}\)

という公式が成り立ちます。

\(\boldsymbol{3}\) 数の展開

多項式の項は \(1\) つ \(2\) つだけでなく、\(3\) つ以上の場合もあります。\((a+b)(x+y+z)\) のような式においても分配法則を利用することに変わりはなく、掛け合わせる数が増えるだけです。

\begin{eqnarray} & &→\\[5px] & &=\boldsymbol{\color{blue}{ax+ay+ax+bx+by+bz}} \end{eqnarray}

例　題

次の式を展開してみましょう。

\((1) \quad (x-4)^2\)	\((2) \quad (x+y+z)^2\)
\((3) \quad (x-5)(x-3)\)	\((4) \quad -(x-4)(x-6)\)

\(\boldsymbol{(1)}\)　平方公式を利用して、 \begin{eqnarray} & &(x-4)^2=x^2+2 \times (-4) \times x+(-4)\\[5px] & &=\boldsymbol{x^2-8x+16}\;…\;答え \end{eqnarray}

\(\boldsymbol{(2)}\)　\(3\) 数あるのでひと工夫します。
\(x+y=A\) に置きかえて \(2\) 数の平方に直して、 \begin{eqnarray} & &(A+z)^2=A^2+2Az+z^2\\[5px] & &A\;\small{をもとにもどして、}\\[5px] & &=(x+y)^2+2(x+y) \times z+z^2\\[5px] & &=x^2+2xy+y^2+2xz+2yz+z^2\\[5px] & &=\boldsymbol{x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz}\\[5px] & &\;…\;答え \end{eqnarray}

\(\boldsymbol{(3)}\)　\((x+a)(x+b)\) の公式を用いてそれぞれ展開します。 \begin{eqnarray} & &(x+a)(x+b)\\[5px] & &=x^2+(a+b)x+ab\\[5px] & &\small{より、}\\[12px] & &(x-5)(x-3)\\[5px] & &=x^2+\{(-5)+(-3)\}x+(-5) \times (-3)\\[5px] & &=\boldsymbol{x^2-8x+15}\;…\;答え \end{eqnarray} マイナスの符号の計算では、カッコでくくっておきます

\(\boldsymbol{(4)}\)　マイナスの符号に注意をしましょう。 \begin{eqnarray} & &-(x-4)(x-6)\\[5px] & &=-{x^2-(4 + 6)x+(-4) \times (-6)}\\[5px] & &=-{x^2-10x+24}\\[5px] & &=\boldsymbol{-x^2+10x-24}\;…\;答え \end{eqnarray}