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2次方程式「平方根」

x についての2次式が0に等しい」という等式で表す方程式を2次方程式といいます。この方程式について、式を満たす x の値を方程式の解といい、解を求めることを方程式を解くといいます。ここでは、方程式の解を求める5つの方法について学習します。

 
2次方程式 主な学習のポイント
・2次方程式とその解について理解する
・2次方程式の解き方をマスターする
・2次方程式を利用しての文章問題を学習する
この項目についてお聞きになりたいことは、 「*ご質問・お問わせ」からお願いします

2次方程式

ax2 + bx + c = 0 (a > 0) のように、x の2次式を含む方程式を2次方程式といいます。x についての方程式において、方程式を成り立たせる x の値 を「方程式の解」といい、解を求めることを「方程式を解く」といいます。ただし、x の2次式である2次方程式の場合、方程式の解は1つとは限りません。方程式には文字の数だけ解があるので、2次方程式なら、ふつう解は2つ存在することになります。 この項目では、2次方程式の解き方を理解します。 2次方程式の解き方には5つあり、入試問題では この解き方を用いた計算問題が必ず出題されます。

2次方程式の解き方①: ax2 = k

これは、平方根の定義 「x2 = a を満たす数 x は、a の平方根である」 を利用して2次方程式を解く方法です。ax2 + bx + c = 0 を整理、展開して

ax2 = k(k ≧ 0)

の形になればこの方法で方程式を解くことができます。
 「ある数 x を2乗して4倍すると、16になるときの
  x の値」
 を式に直すと

4x2 = 16

となるので、両辺を「4」で割って整理すると

x2 = 4
x = ±√4
= ±2

よって、2次方程式  ax2 = k (k ≧ 0)を解くには、

・両辺を「a」で割る
・x2 = □ の形にする
 → x = ±√□ ・・・ 解

の手順で行います。


2次方程式の解き方②: (x + a)2 = k

2次方程式の解き方①では、左辺が単項式の2乗の形でしたが、②では多項式の2乗の形になります。
 「ある数 x に4を加え、2乗するとその値が49で
  あるときの x の値」
を求めます。

(x + 4)2 = 49
x + 4 = A
に置き換えると
A2 = 49
A = ±√49
= ±7
A をもとにもどして
x + 4 = ±7
より
x = 7 - 4 = 3,
x = -7 - 4 = -11
∴ x = -11, 3

よって、2次方程式(x + a)2 = k を解くには、

・カッコ内を1つの文字に置き換える
ax2 = k の形にする
・x2 = □ から x の値を求める
・置き換えた文字をもとにもどす
 → x = ±√□ - a = -a ±√□ ・・・ 解
 

の手順で行います。1度置きかえた多項式を必ずもとに戻すことを忘れないように。

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