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相似の基礎

相似な2つの図形には、「対応する辺の長さの比がすべて等しい」「対応する角の大きさがすべて等しい」という性質があることを理解します。

図形と相似 主な学習のポイント
・相似の意味と相似な図形の性質を理解する
・三角形の相似条件を利用して、図形の性質を証明する
・相似な図形の相似比、面積比、体積比を求める
この項目についてお聞きになりたいことは、 「*ご質問・お問わせ」からお願いします

相 似

ある図形を形を変えずに、一定の割合で大きくすることを拡大するといい、小さくすることを縮小するといいます。 また、拡大した図形を拡大図、縮小した図形を縮図といいます。 このように、もとの図形を形を変えずに拡大したり縮小したりしてできた図形ともとの図形との関係を相似(そうじ)といいます。 そして、もとの図形に対する拡大図や縮図を相似な図形と呼びます。
次の△ABC を、形を変えずに一定の割合で大きくした△DEF は拡大図、△GHI は縮図にそれぞれなります。

相似な関係にある図形どうしを表す場合、記号「を用いて表します。

△ABC ∽ △DEF  △ABC ∽ △GHI

相似な図形の性質

図において、 は相似な関係にあり、イ は ア を 1.5倍に拡大したものです。

もとの の図形を1.5倍に拡大した図形が であるとき、この値を 相似比(そうじひ)といいます。 上の例では、もとの四角形ABCD と拡大した四角形EFGH の相似比は1.5 ですから相似比は、

四角形ABCD : 四角形EFGH
 = 1 : 1.5 = 2 : 3

になります。また、2つの図形の対応するそれぞれの辺の長さの比は相似比と等しくなるので、

AB : EF
 = BC : FG
 = CD : GH
 = DA :HE
 = 2 : 3

となります。また、図形イ はもとの図形ア を形を変えずに拡大したものなので、2つの図形の対応する角はすべて等しく

∠A = ∠E,
∠B = ∠F,
∠C = ∠G,
∠D = ∠H

このことから、相似な図形には、

・対応する辺の長さの比はすべて等しい
・対応する角の大きさはすべて等しい

という性質があります。


相似の中心と相似の位置


たとえば、上の2つの図形において、

OE = 2OA,
OF = 2OB,
OG = 2OC,
OH = 2OD

であるならば、

OE : OA
= OB : OF
= OC : OG
= OD : OH
= 2 : 1

このように、2つの図形の対応する点を通る図形がすべて1点O を通り、点O から各点までの距離の比がすべて等しいとき、この2つの図形は「相似の位置」にあるといい、点O を「相似の中心」といいます。このとき、相似の中心から対応する各点までの距離の比は2つの図形の相似比と一致します。
 ∴ 相似比 四角形ABCD : 四角形EFGH = 1 : 2


演 習

 (1) 点Oを相似の中心とし、△ABC を3倍に拡大
    した△DEF を図に書き入れなさい。


 (2) 点Oを相似の中心とし、四角形ABCD を 1/2
    に縮小した四角形EFGHを図に書きなさい。




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