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連立方程式とその解

1次方程式、2元1次方程式に続いて連立方程式を学習します。連立方程式は2つの未知数を含み、2つの2元1次方程式からなる方程式をいいます。連立方程式の2つの解き方(代入法・加減法)についてしっかり理解するとともに、世の中の様々な出来事を連立方程式を用いて解く際の考え方についても理解します。

 
連立方程式 主な学習のポイント
・2元1次方程式 と 連立方程式 の意味を理解する
・連立方程式の解き方をマスターする
・連立方程式の文章問題の解き方を覚える
この項目についてお聞きになりたいことは、 「*ご質問・お問わせ」からお願いします

2元1次方程式

x + y = 7 や 2a + 3b = 5 のように、2種類の文字を含む方程式を2元方程式 といい、それぞれの文字についての1次式であるものを2元1次方程式といいます。 また、2元1次方程式を成り立たせる2つの文字の値をその2元1次方程式「解」といいます。 2元1次方程式 x + y = 6 を満たす x, y の値の組み合わせを下の表にまとめてみましょう。

この表には、x の値が与えられているので、y の値を求めることになります。 したがって、この2元1次方程式を yについて解く形に変形します。

x + y = 6
y = 6 − x ―― ①

次に、表に与えられている x の値を、それぞれ ① の式に代入します。
 x = 1  のとき、  y = 6 - 1 = 5
 x = 2  のとき、  y = 6 - 2 = 4
 x = 3  のとき、  y = 6 - 3 = 3
 x = 4  のとき、  y = 6 - 4 = 2
 x = 5  のとき、  y = 6 - 5 = 1
 x = 6  のとき、  y = 6 - 6 = 0
 x = 7  のとき、  y = 6 - 7 = -1
 x = 8  のとき、  y = 6 - 8 = -2
これにより、2元1次方程式  x + y = 6  を満たす x, y の値の組み合わせは下図のようになります。

1次方程式では、「解」はただ1つでしたが、2元1次方程式では文字が 2種類あることで、解が無数に存在します。

連立方程式

2つまたは、それ以上の方程式を組み合わせたものを連立方程式(れんりつほうていしき)といい、「解」を求めることを、 連立方程式を解くといいます。次の連立方程式を解いてみましょう。

・2元1次方程式①②を満たす x, y の値の組見合わせを表に表す
 表への表し方はすでに学習してあります。x の値が与えられているので、 2つの2元1次方程式を y について解きます。①②の方程式を「y = 」の形に変形して、

① の式 →  y = 5 - x  として、 x の値を代入します
 x = 1  のとき、 y = 5 - 1 = 4
 x = 2  のとき、 y = 5 - 2 = 3
 x = 3  のとき、 y = 5 - 3 = 2
 x = 4  のとき、 y = 5 - 4 = 1
 x = 5  のとき、 y = 5 - 5 = 0
 x = 6  のとき、 y = 5 - 6 = -1
 x = 7  のとき、 y = 5 - 7 = -2
 x = 8  のとき、 y = 5 - 8 = -3

これにより、2元1次方程式①を満たす x, y の値の組見合わせを表に表すと、


      

さらに、2元1次方程式②を満たす x, y の値の組見合わせを表に表すと、


・①、②の表から、それぞれに共通する x と y の値の組を探し出す

x = 6, y = -1

が見つかり、これが連立方程式の解になります。

  連立方程式の解は、次のように表します。
x = 6, y = -1
(x, y)= (6, -1)

どちらの答え方でも結構です。 2元1次方程式が1つの場合、その解が無数に存在するのに対して、 複数の式を組み合わせると解がただ1つに定まります。

 
方程式の種類 文字の数
1元1次方程式1 種類 1 つ
2元1次方程式 2 種類 無 数
連立方程式 2 種類以上 1 つ

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