高校入試[英語・数学]学習｜連立方程式とその解

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連立方程式とその解

未知数を含み、その未知数がある特定の値をとる場合だけ成立する等式を方程式といいます。ふつう、方程式に未知数が \(1\) つとは限らず、複数存在することもあります。これを、多元方程式 とか 多変数方程式 などといいます。方程式が \(1\) 次の項と定数項から成るものを\(1\) 次方程式、 \(2\) 次の項と定数項から成るものを\(2\) 次方程式といい、方程式という等式が複数ある場合、それらを \(1\) くくりにして連立方程式といいます。

連立方程式　主な学習のポイント
・\(\boldsymbol{2}\) 元 \(\boldsymbol{1}\) 次方程式と連立方程式
・連立方程式の解き方をマスターする
・連立方程式の文章問題について
この項目についてお聞きになりたいことは、「*ご質問・お問わせ」からお願いします

\(\boldsymbol{2}\) 元 \(\boldsymbol{1}\) 次方程式

\(x+y=7\) や \(2a+3b=5\) のように、\(2\) 種類の文字を含む方程式を\(\boldsymbol{2}\) 元方程式 といい、それぞれの文字についての \(1\) 次式であるものを \(\boldsymbol{2}\) 元 \(\boldsymbol{1}\) 次方程式といいます。また、\(2\) 元 \(1\) 次方程式を成り立たせる \(2\) つの文字の値をその \(2\) 元 \(1\) 次方程式の「解」といいます。

\(2\) 元 \(1\) 次方程式 \(x+y=6\) を満たす \(x,\;y\) の値の組み合わせを下の表にまとめてみましょう。

\(\boldsymbol{x}\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)
\(\boldsymbol{y}\)

この表には、\(x\) の値が与えられているので、それをもとに \(\boldsymbol{y}\) の値を求めることになります。この \(2\) 元 \(1\) 次方程式を \(\boldsymbol{y}\) について解く形に変形して、

\begin{eqnarray} & &x+y=6\\[5px] & &\boldsymbol{\color{darkblue}{y=6-x}}\;――\;\small{①} \end{eqnarray}

次に、表に与えられている \(\boldsymbol{x}\) の値を、それぞれ \(\small{①}\) の式に代入します。

\(\boldsymbol{x=1}\) のとき、 \[y=6-1=\boldsymbol{\color{blue}{5}}\]

\(\boldsymbol{x=2}\) のとき、 \[y=6-2=\boldsymbol{\color{blue}{4}}\]

\(\boldsymbol{x=3}\) のとき、 \[y=6-3=\boldsymbol{\color{blue}{3}}\]

\(\boldsymbol{x=4}\) のとき、 \[y=6-4=\boldsymbol{\color{blue}{2}}\]

\(\boldsymbol{x=5}\) のとき、 \[y=6-5=\boldsymbol{\color{blue}{1}}\]

\(\boldsymbol{x=6}\) のとき、 \[y=6-6=\boldsymbol{\color{blue}{0}}\]

\(\boldsymbol{x=7}\) のとき、 \[y=6-7=\boldsymbol{\color{blue}{-1}}\]

\(\boldsymbol{x=8}\) のとき、 \[y=6-8=\boldsymbol{\color{blue}{-2}}\]

これにより、\(2\) 元 \(1\) 次方程式 \(x+y=6\) を満たす \(x,\;y\) の値の組み合わせは下図のようになります。

\(\boldsymbol{x}\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)
\(\boldsymbol{y}\)	\(5\)	\(4\)	\(3\)	\(2\)	\(1\)	\(0\)	\(-1\)	\(-2\)

\(1\) 次方程式では、「解」はただ \(1\) つでしたが、\(2\) 元 \(1\) 次方程式では文字が \(2\) 種類あることで、解が無数に存在します。

連立方程式

\(2\) つまたは、それ以上の方程式を組み合わせたものを連立方程式（れんりつほうていしき）といい、「解」を求めることを、 連立方程式を解くといいます。次の連立方程式を解いてみましょう。

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \boldsymbol{x+y=5}\;――\;\small{①}\\[10px] \boldsymbol{2x+5y=7}\;――\;\small{②} \end{array} \right. \end{eqnarray}

・	\(\boldsymbol{2}\) 元 \(\boldsymbol{1}\) 次方程式 ①② を満たす \(\boldsymbol{x,\;y}\) の値の組見合わせを表に表す

\(x\) の値が与えられているので、 \(2\) つの \(2\) 元 \(1\) 次方程式を \(y\) について解きます。\(\small{①②}\) の方程式を「\(\color{blue}{y=□}\)」の形に変形して、

\(\small{①}\) の式 \(→\)
\(\boldsymbol{\color{darkblue}{y=5-x}}\) として、\(x\) の値を代入します

\(\boldsymbol{x=1}\) のとき、 \[y=5-1=\boldsymbol{\color{blue}{4}}\]

\(\boldsymbol{x=2}\) のとき、 \[y=5-2=\boldsymbol{\color{blue}{3}}\]

\(\boldsymbol{x=3}\) のとき、 \[y=5-3=\boldsymbol{\color{blue}{2}}\]

\(\boldsymbol{x=4}\) のとき、 \[y=5-4=\boldsymbol{\color{blue}{1}}\]

\(\boldsymbol{x=5}\) のとき、 \[y=5-5=\boldsymbol{\color{blue}{0}}\]

\(\boldsymbol{x=6}\) のとき、 \[y=5-6=\boldsymbol{\color{blue}{-1}}\]

\(\boldsymbol{x=7}\) のとき、 \[y=5-7=\boldsymbol{\color{blue}{-2}}\]

\(\boldsymbol{x=8}\) のとき、 \[y=5-8=\boldsymbol{\color{blue}{-3}}\]

これにより、\(2\) 元 \(1\) 次方程式 \(\small{①}\) を満たす \(x,\;y\) の値の組見合わせを表に表すと、

\(\boldsymbol{x}\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)
\(\boldsymbol{y}\)	\(4\)	\(3\)	\(2\)	\(1\)	\(0\)	\(\boldsymbol{\color{blue}{-1}}\)	\(-2\)	\(-3\)

　　 \(\small{②}\) の式 \(→\)

\begin{eqnarray} y &=&(7-2x) \div 5=(7-2x) \times \frac{1}{5}\\[7px] &=&\boldsymbol{\frac{7-2x}{5}} \end{eqnarray}

として、\(x\) の値を代入します

\(\boldsymbol{x=1}\) のとき、

\begin{eqnarray} y &=&\frac{7-2\times1}{5}=\frac{7-2}{5}\\[7px] &=&\frac{5}{5}=\boldsymbol{\color{blue}{1}} \end{eqnarray}

\(\boldsymbol{x=2}\) のとき、

\begin{eqnarray} y &=&\frac{7-2\times2}{5}=\frac{7-4}{5}\\[7px] &=&\boldsymbol{\color{blue}{\frac{3}{5}}} \end{eqnarray}

\(\boldsymbol{x=3}\) のとき、

\begin{eqnarray} y &=&\frac{7-2\times3}{5}=\frac{7-6}{5}\\[7px] &=&\boldsymbol{\color{blue}{\frac{1}{5}}} \end{eqnarray}

\(\boldsymbol{x=4}\) のとき、

\begin{eqnarray} y &=&\frac{7-2\times4}{5}=\frac{7-8}{5}\\[7px] &=&\boldsymbol{\color{blue}{-\frac{1}{5}}} \end{eqnarray}

\(\boldsymbol{x=5}\) のとき、

\begin{eqnarray} y &=&\frac{7-2\times5}{5}=\frac{7-10}{5}\\[7px] &=&\boldsymbol{\color{blue}{-\frac{3}{5}}} \end{eqnarray}

\(\boldsymbol{x=6}\) のとき、

\begin{eqnarray} y &=&\frac{7-2\times6}{5}=\frac{7-12}{5}\\[7px] &=&-\frac{5}{5}=\boldsymbol{\color{blue}{-1}} \end{eqnarray}

\(\boldsymbol{x=7}\) のとき、

\begin{eqnarray} y &=&\frac{7-2\times7}{5}=\frac{7-14}{5}\\[7px] &=&\boldsymbol{\color{blue}{-\frac{7}{5}}} \end{eqnarray}

\(\boldsymbol{x=8}\) のとき、

\begin{eqnarray} y &=&\frac{7-2\times8}{5}=\frac{7-16}{5}\\[7px] &=&\boldsymbol{\color{blue}{-\frac{9}{5}}} \end{eqnarray}

さらに、\(2\) 元 \(1\) 次方程式 \(\small{②}\) を満たす \(x,\;y\) の値の組見合わせを表に表すと、

\(\boldsymbol{x}\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)
\(\boldsymbol{y}\)	\(1\)	\(\cfrac{3}{5}\)	\(\cfrac{1}{5}\)	\(-\cfrac{1}{5}\)	\(-\cfrac{3}{5}\)	\(\boldsymbol{\color{blue}{-1}}\)	\(-\cfrac{7}{5}\)	\(-\cfrac{9}{5}\)

・	\(\small{①,②}\) の表から、それぞれに共通する \(\boldsymbol{x}\) と \(\boldsymbol{y}\) の値の組を探し出す

どちらも、\(\color{crimson}{x=6}\) のとき、\(\color{crimson}{y=-1}\) になり、これが連立方程式の解になります。解の表し方は、

\begin{eqnarray} & &\boldsymbol{\color{blue}{x=6,\hspace{7px}y=-1}}\\[7px] & &\small{または、}\\[7px] & &\boldsymbol{\color{blue}{(x,\hspace{10px}y)=(6,\hspace{10px}-1)}} \end{eqnarray}

どちらでも結構です。\(2\) 元 \(1\) 次方程式が1つの場合、その解が無数に存在するのに対して、複数の式を組み合わせると解がただ \(\boldsymbol{1}\) つに定まります。

方程式の種類	文字の数	解
\(\boldsymbol{1}\) 元 \(\boldsymbol{1}\) 次方程式	\(\boldsymbol{1}\) 種類	\(\boldsymbol{1}\) つ
\(\boldsymbol{2}\) 元 \(\boldsymbol{}1\) 次方程式	\(\boldsymbol{2}\) 種類	無　数
連立方程式	\(\boldsymbol{2}\) 種類以上	\(\boldsymbol{1}\) つ