高校入試[英語・数学]学習｜いろいろな連立方程式

いろいろな連立方程式

連立方程式には、カッコを含むものや、分数や小数を含むもの、比例式を含むもの、\(A=B=C\) の形などいろいろあり、それぞれについて解き方を身につけます。

カッコを含む連立方程式

カッコを含む連立方程式では、最初にカッコをはずしてから計算します。

・カッコを含む連立方程式を解く

\(\small{①}\)	カッコをはずす
\(\small{②}\)	代入法・加減法を用いて連立方程式を解く
\(\small{③}\)	求めた解をもとの方程式に代入して、等式が成り立つか確認する

手順に従い、次の連立方程式を解いてみましょう。

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \boldsymbol{4(x+2y)-5y=-8}\;――\;\small{ア}\\[10px] \boldsymbol{x-2(y+4)=1}\;――\;\small{イ} \end{array} \right. \end{eqnarray}

\(\small{①}\) カッコをはずす \begin{eqnarray} & &\small{ア\;の式}\;→\\[10px] & &4(x+2y)-5y=-8\\[5px] & &\color{red}{4 \times x+4 \times 2y}-5\\[5px] & &=-8\\[10px] & &4x+8y+(-5y)=-8\\[5px] & &4x+(8-5)y=-8\\[5px] \boldsymbol{4x+3y=-8}\;――\;\small{ウ} \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} & &\small{イ\;の式}\;→\\[10px] & &x-2(y+4)=1\\[5px] & &\color{red}{x-(2 \times y+2 \times 4)}\\[5px] & &=1\\[5px] & &x-(2y+8)=1\\[5px] & &x-2y-8=1\\[5px] & &x-2y=1+8\\[5px] & &\boldsymbol{x-2y=9}\;――\;\small{エ} \end{eqnarray}

\(\small{②}\)　〈ウ〉〈エ〉について、代入法・加減法で解く
ここでは、両方の解き方を使って解いてみましょう。

\(\boldsymbol{a)}\)　代入法で解く

・	〈エ〉の式を \(\boldsymbol{y}\) について解く式に直す

\begin{eqnarray} x-2y=9\\[5px] x=9+2y\;――\;\small{オ} \end{eqnarray}

・	〈オ〉を〈ウ〉の式に代入して、\(\boldsymbol{x}\) を消去する

\begin{eqnarray} & &4 \times (\color{blue}{9+2y})+3y=-8\\[5px] & &4 \times 9+4 \times 2y+3y=-8\\[5px] & &36+8y+3y=-8\\[5px] & &(8+3)y=-8-36\\[5px] & &11y=-44\\[5px] & &y=-44 \div 11\\[5px] & &\boldsymbol{\color{blue}{y=-4}} \end{eqnarray}

・	\(\boldsymbol{y=-4}\) を〈オ〉の式に代入する

\begin{eqnarray} & &x=9+2 \times (-4)\\[5px] & &=9-(-8)\\[5px] & &=9-8=1\\[5px] & &\boldsymbol{\color{blue}{x=1}} \end{eqnarray}

・	\(\boldsymbol{x=1,\hspace{7px}y=-4}\) をもとの式に代入して連立方程式の解として正しいか確認する

〈ア〉の式において \begin{eqnarray} & &\small{左　辺}\;=4 \times \{\boldsymbol{\color{red}{1}}+2 \times (\boldsymbol{\color{red}{-4}})\}-5 \times (\boldsymbol{\color{red}{-4}})\\ & &=4 \times (-8+1)+(-5) \times (-4) & &=4 \times (-7)+20=(-28)+20=\boldsymbol{\color{blue}{-8}}\\[12px] & &\small{右　辺}\;=\boldsymbol{\color{blue}{-8}} \end{eqnarray}

〈イ〉の式において \begin{eqnarray} & &\small{左　辺}\;=\boldsymbol{\color{red}{1}}-2 \times \{(\boldsymbol{\color{red}{-4}})+4\}\\ & &=1-2 \times 0\\ & &=1-0=\boldsymbol{\color{blue}{1}}\\[12px] & &\small{右　辺}\;=\boldsymbol{\color{blue}{1}}

どちらの式も両辺の値が一致するので、連立方程式の解として正しいと確認できます。
∴　答　え　\(\boldsymbol{\color{blue}{x=1,y=-4}}\)

\(\boldsymbol{b)}\)　加減法で解く

〈ウ〉と〈エ〉を加減法で解く場合、 \(x\) と \(y\) の係数の絶対値はより小さい方が計算しやすくなるので、

・\(2\) つの式の \(\boldsymbol{x}\) の係数を \(\boldsymbol{4}\) に合せるため、〈エ〉の式の両辺に \(\color{blue}{4}\) を掛けます

\begin{array}{cccccc} & 4x & & + & 3y & = & & -8 &\\ -) & 4x & & - & 8y & = & & 36 &\\ \hline \end{array}

\begin{array}{cccccc} & 4x & & + & 3y & = & & -8 &\\ \color{crimson}{+)} & \color{crimson}{-4x} & & \color{crimson}{+} & \color{crimson}{8y} & \color{crimson}{=} & & \color{crimson}{-36} &\\ \hline & & & & \boldsymbol{11}y & = & & \boldsymbol{-44} & \end{array}

\(x\) の値を求める

\begin{eqnarray} & &11x=-44\\[5px] & &x=-44 \div 11\\[5px] & &\boldsymbol{x=-4} \end{eqnarray}

・ここでは、〈オ〉の式に代入して

\begin{eqnarray} x &=&9+2 \times (-4)\\[5px] &=&9+(-8)=9-8\\[10px] & &\boldsymbol{x=1} \end{eqnarray}

これらが連立方程式の解として正しいかどうかを、同じようにもとの〈ア〉〈イ〉の式に代入します。

少数や分数を含む連立方程式

係数に小数や分数を含む方程式は、計算が複雑になるので、小数や分数を含まないものに変形してから計算します。

小数・分数を含む連立方程式の解き方

\(\small{①}\)	式の両辺にある数を掛けて、小数や分数を含まない形にする
\(\small{②}\)	代入法・加減法を用いて連立方程式を解く
\(\small{③}\)	求めた解をもとの方程式に代入して、等式が成り立つかを確認する

例　題：
次の連立方程式を解きなさい。

\((1)\)

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 0.6x-4y=4\\[10px] 0.5x+y=12 \end{array} \right. \end{eqnarray}

\((2)\)

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \cfrac{x}{3}+\cfrac{y}{2}=1\\[10px] 5x+4y=1 \end{array} \right. \end{eqnarray}

解　説
\((1)\) 上の式をア、下の式をイとして

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \boldsymbol{0.6x-4y=4}\;――\;ア\\[10px] \boldsymbol{0.5x+y=12}\;――\;イ \end{array} \right. \end{eqnarray}

\(\small{①}\)

式の両辺にある数を掛けて、小数や分数を含まない形にする

ふつう、小数を含まないようにするには、\(\boldsymbol{10}\) 倍、\(\boldsymbol{100}\) 倍しますが、そうすることで大きな数になり計算が面倒になります。そのため、可能な限り掛ける数を小さくします。この問題では、\(10\) を掛けなくても小数を含まなくすることができます。

〈ア〉の式の両辺に〈\(\boldsymbol{5}\)〉を掛ける

\begin{eqnarray} & &(0.6 \times 5)x-(4 \times 5)y=4 \times 5\\[7px] & &\boldsymbol{3x-20y=20}\;――\;\small{ウ} \end{eqnarray}

〈イ〉の式の両辺に〈\(\boldsymbol{2}\)〉を掛ける

\begin{eqnarray} & &(0.5 \times 2)x+(1 \times 2)y=12 \times 2\\[7px] & &\boldsymbol{x+2y=24}\;――\;\small{エ} \end{eqnarray}

\(\small{②}\)

代入法・加減法を用いて連立方程式を解く

〈エ〉の式の \(x\) の係数が \(\boldsymbol{1}\) なので \(x=□□\) の形にでき、ここでは代入法で解きます。

\[\boldsymbol{x=24-2y}\;――\;\small{オ}\]

〈ウ〉の式に代入して

\begin{eqnarray} & &3 \times (\color{blue}{24-2y})-20y=20\\[5px] & &72-6y-20y=20\\[5px] & &-(20+6)y=20-72\\[5px] & &-26y=-52\\[5px] & &y=-52 \div (-26)\\[5px] & &\boldsymbol{y=2} \end{eqnarray}

\(y=2\) を〈エ〉または〈オ〉の式に代入して

\begin{eqnarray} & &x=-2y+24\\[5px] & &=(-2) \times (\boldsymbol{\color{red}{+2}})+24\\[5px] & &=-4+24=20\\[5px] & &\boldsymbol{x=20} \end{eqnarray}

\(\small{③}\)

解をもとの式に代入して連立方程式の解として正しいか確認する

アの式において、 \begin{eqnarray} & &\small{左　辺}\;\normalsize{=0.6 \times 20-4 \times 2}\\ & &=12-8=\boldsymbol{\color{crimson}{4}}\\[7px] & &\small{右　辺}\;\normalsize{=\boldsymbol{\color{crimson}{4}}} \end{eqnarray}

イの式において、 \begin{eqnarray} & &\small{左　辺}\;\normalsize{=0.5 \times 20+2}\\ & &=10+2=\boldsymbol{\color{crimson}{12}}\\[7px] & &\small{右　辺}\;\normalsize{=\boldsymbol{\color{crimson}{12}}} \end{eqnarray}

　 ∴　答　え：\(\boldsymbol{\color{blue}{x=20,\quad y=2}}\)

\((2)\)　上の式をア、下の式をイとして

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \boldsymbol{\cfrac{x}{3}+\cfrac{y}{2}=1}\;――\;\small{ア}\\[10px] \boldsymbol{5x+4y=1}\;――\;\small{イ} \end{array} \right. \end{eqnarray}

\(\small{①}\)

それぞれの式の両辺にある数を掛けて、小数や分数を含まない形にする

〈ア〉の式の係数の分母を払うため、分母の「\(3\)」と「\(2\)」の最小公倍数 \(6\) を両辺に掛けます

\begin{eqnarray} & &\frac{x}{3} \times 6+\frac{y}{2} \times 6=1 \times 6\\[5px] & &\boldsymbol{2x+3y=6}\;――\;\small{ウ} \end{eqnarray}

\(\small{②}\)　連立方程式を解く

〈ウ〉と〈イ〉から成る連立方程式を解きます。 \(x,\;y\) 両方に係数がついているので加減法で解きます。〈イ〉〈ウ〉の式の \(x\) と \(y\) の項の係数のうち計算が楽な方を選びますが、この場合どちらを選んでも手間のかかり方に大きな差はないので両方試してみましょう。

\(\boldsymbol{a)}\)

〈イ〉に「\(\boldsymbol{2}\)」を、〈ウ〉に「\(\boldsymbol{5}\)」を掛けて \(\boldsymbol{x}\) を消去

\begin{eqnarray} & &\small{イ\;の式}\;→\\[5px] & &5x \times 2+4y \times 2=1 \times 2\\[5px] & &\boldsymbol{10x+8y=2}\;――\;\small{エ}\\[12px] & &\small{ウ\;の式}\;→\\[5px] & &2x \times 5+3y \times 5=6 \times 5\\[5px] & &\boldsymbol{10x+15y=30}\;――\;\small{オ} \end{eqnarray}

〈エ〉 \(-\) 〈オ〉より

\begin{eqnarray} & &\color{crimson}{(8y-15y)=(2-30)}\\[5px] & &-7y=-28\\[5px] & &\boldsymbol{y=4} \end{eqnarray}

\(y=4\) を〈エ〉の式に代入して

\begin{eqnarray} & &10x+8 \times 4=2\\[5px] & &10x+32=2\\[5px] & &10x=2-32=-30\\[5px] & &\boldsymbol{x=-3} \end{eqnarray}

\(\boldsymbol{b)}\)

〈イ〉に「\(\boldsymbol{3}\)」を、〈ウ〉に「\(\boldsymbol{4}\)」を掛けて \(\boldsymbol{y}\) を消去

\begin{eqnarray} & &\small{イ\;の式}\;→\\[5px] & &5x \times 3+4y \times 3=1 \times 3\\[5px] & &\boldsymbol{15x+12y=3}\;――\;\small{エ}\\[12px] & &\small{ウ\;の式}\;→\\[5px] & &2x \times 4+3y \times 4=6 \times 4\\[5px] & &\boldsymbol{8x+12y=24}\;――\;\small{オ} \end{eqnarray}

〈エ〉 \(-\) 〈オ〉より

\begin{eqnarray} & &(15x-8x)=(3-24)\\[5px] & &7x=-21\\[5px] & &x=(-21) \div 7\\[5px] & &\boldsymbol{x=-3} \end{eqnarray}

\(x=-3\) を〈オ〉の式に代入して

\begin{eqnarray} & &8 \times (\boldsymbol{\color{crimson}{-3}})+12y=24\\[5px] & &(-24)+12y=24\\[5px] & &12y=24+24=48\\[5px] & &\boldsymbol{y=4} \end{eqnarray}

\(\small{③}\)

この解をもとの方程式に代入して等式が成り立つかを確認する

アの式において、 \begin{eqnarray} & &\small{左　辺}\;\normalsize{=\frac{\boldsymbol{\color{crimson}{-3}}}{3}+\frac{\boldsymbol{\color{crimson}{4}}}{2}}\\[7px] & &=(-1)+2=+(2-1)=\boldsymbol{\color{blue}{1}}\\[12px] & &\small{右　辺}\;\normalsize{=\boldsymbol{\color{blue}{1}}} \end{eqnarray}

イの式において、 \begin{eqnarray} & &\small{左　辺}\;\normalsize{=5 \times (\boldsymbol{\color{crimson}{-3}})+4 \times \boldsymbol{\color{crimson}{4}}}\\ & &=(-15)+16=+(16-15)=\boldsymbol{\color{blue}{1}}\\[12px] & &\small{右辺}\;\normalsize{=\boldsymbol{\color{blue}{1}}} \end{eqnarray}

ア、イ両方とも等式が成り立つので、連立方程式の解として正しいと確認できます。

∴　答え：\(\boldsymbol{\color{blue}{x=-3,\hspace{7px}y=4}}\)

・連立方程式の解き方

\(\small{①}\)	連立方程式の種類から式を整理する
	（カッコをはずし、分数・小数を含まない式に変える）
\(\small{②}\)	代入法か加減法のどちらで解くかを決める
\(\small{③}\)	\(\boldsymbol{x,\;y}\) の値を求める
\(\small{④}\)	\(\small{③}\) の解をもとの式に代入して連立方程式の解として正しいか確認する