文字式の利用
文字式の利用では、問題文から、数量関係を表す文字式を導き出すコツを学びます。文字式が表す数量
次の例題を見ながら、文字式がいろいろな数量を表すのに利用されるのを知りましょう。
\((1)\) たての長さが \(a\;cm\)、横の長さが \(b\;cm\) の長方形の面積を \(S cm^2\) とするとき、 \(S\) を \(a,\;b\) の式で表しなさい。
\(S\) は長方形の面積ですから、長方形の面積をこれらの文字を使って表せばよいことになります。
\begin{eqnarray}
& &\small{\text{長方形の面積}}\;\normalsize{=}\;\small{\text{(たての長さ)}}\;\normalsize{\times}\;\small{\text{(横の長さ)}}\\[5px]
& &\small{\text{より、}}\\[5px]
& &S=a \times b\\[5px]
& &\;=\boldsymbol{ab}
\end{eqnarray}
\((2)\) 底辺が \(a\;cm\)、高さが \(h\;cm\) の三角形の面積を \(S cm^2\) とするとき、 \(S\) を \(a,\;h\) の式で表しなさい。
三角形の面積\(=(\)底辺\() \times (\)高さ\() \div 2\) の公式に与えられた文字を当てはめます。
\begin{eqnarray}
S &=&a \times h \div 2\\[5px]
&=&a \times h \times \frac{1}{2}\\[5px]
&=&\boldsymbol{\frac{1}{2}ah}
\end{eqnarray}
\((3)\) 半径 \(r\;cm\) の円がある。円周率を \(π\) として、円周の長さ \(l\;cm\) を \(π,\;r\) で表しなさい。
円周の長さ\(\;=\;\)直径 \(\times\) 円周率 から、
\begin{eqnarray}
& &=2r \times π\\[5px]
& &=\boldsymbol{2πr}
\end{eqnarray}
\(π\) は「パイ」と読み、一般に「\(3.14\)」という数値が与えられていますが、これは、小数点以下ほぼ
無限に続く割り切れない数ですから、 \(2 \times r \times 3.14=\boldsymbol{6.28r}\) のように決まった数で表せません。
よって、ふつうは \(π\) を用います。ただし、 これは数と文字の中間のような存在なので、文字といっしょに用いるときには\(2rπ\) ではなく \(\boldsymbol{\color{red}{2πr}}\) とします。
また、 \(2\) つの関係がイコール「\(\;=\;\)」で結ばれたものを等式 （とうしき）といいます。
「\(\;=\;\)」は \(2\) つが 〈等〉しいという意味を表す〈記号〉から、等号（とうごう）といいます。
\(3+2=5\) や \(y=2x-5\) のような等式で、等号の左側の部分を左辺 （さへん）、
右側の部分を右辺 （うへん）といい、両方合わせて、両辺 （りょうへん）といいます。
次の \(2\) つの関係を等式で表現してみましょう。
\((1)\) ジュースが全部で \(a\) 本あり、 \(b\) 人の男の子たちに \(1\) 人当り \(3\) 本ずつ配ろうとしたら、\(2\) 本足りなかった。
| 「ジュースが全部で \(a\) 本ある」 と | |
| 「\(b\) 人の男の子たちにジュースを \(1\) 人当り | \(3\) 本ずつ配ると\(2\) 本少ない」 |
| 「\(2\) 本足りない」 | \(=\)「\(-2\) 本多い」 |
\((2)\) ある数 \(n\) を \(4\) で割ったら、その商が \(p\) で余りが \(r\) になった。
内容がよく分からなかったら、適当な数を文字に当てはめてみます。たとえば、
\(4\) で割って商が \(3\) になる数 といえば、
\begin{eqnarray}
& &n \div 4=3\\[5px]
& &\small{\text{だから、}}\\[5px]
& &n=3 \times 4
& &=\boldsymbol{12}
\end{eqnarray}
になります。そして、余りが \(1\) なら、\(12\) に \(1\) を加えればよいから、
\[n=12+1=13\]
つまり、
\[\boldsymbol{\color{blue}{n=(3 \times 4)+1}}\]
割り算
（割られる数）＝｛（商）×（割る数）｝＋（余り）
という関係
不等式
\(a\) と \(b\) \(2\) つの大小関係を表すと次のようになります。| \(\boldsymbol{・a \lt b}\;:\;a\) は \(b\) よりも小さい |
| \(⇔\) \(b\) は \(a\) よりも大きい |
| \(\boldsymbol{・a \gt b}\;:\;a\) は \(b\) よりも大きい |
| \(⇔\) \(b\) は \(a\) よりも小さい |
| \(\boldsymbol{・a ≦ b}\;:\;a\) は \(b\) 以下である |
| \(⇔\) \(b\) は \(a\) 以上である |
| \(\boldsymbol{・a ≧ b}\;:\;a\) は \(b\) 以上である |
| \(⇔\) \(b\) は \(a\) 以下である |
\((1)\) ヨシオが持っているお金は \(p\) 円で、彼の弟が持っているお金 \(q\) 円の \(2\) 倍から \(500\) 円を引いた金額より少ない。
\((2)\) 自然数 \(x\) の \(3\) 倍に \(7\) を加えたものが、自然数 \(y\) を \(5\) 倍して \(9\) を引いたものよりも大きい。
解 説
\((1)\) ヨシオの弟が持っているお金 \(\boldsymbol{q}\) 円の \(\boldsymbol{2}\) 倍から \(500\) 円を引いた金額は、 \[\color{darkblue}{\boldsymbol{q \times 2-500=2q-500}}\] で表すことができます。ヨシオの持っているお金 \(p\) 円はこれよりも少ないので、 \[\color{blue}{\boldsymbol{p \lt 2q-500}}\] … 答え \((2)\) \(x\) の \(3\) 倍に \(7\) を加えたものは \[\color{darkblue}{\boldsymbol{x \times 3+7=3x+7}\;\small{\text{ ―― ①}}}\] で表すことができる。また、 \(y\) を \(5\) 倍して \(9\) を引いたものは \[\color{darkblue}{\boldsymbol{y \times 5-9=5y-9}\;\small{\text{ ―― ②}}}\] そして、① が ② よりも大きいことを、 \[\color{blue}{\boldsymbol{3x+7 \gt 5y-9}}\] … 答え