代 表 値
与えられた資料について、その特徴や傾向を示す尺度となる数値を代表値 といいます。 代表値を求める場合、まず、資料の範囲 (レンジ) を求めてから、適当な値の階級と階級の幅を設定して度数分布表をつくることからはじめます。主な代表値
ある資料において、全体の特徴を表している数値のことを代表値（だいひょうち） といい、次の \(3\) つがあります。| 平均値 | \(:\) 資料全体の合計を資料の全個数で割った値 |
|---|
| \(\mathbf{平均値}\;=\; \cfrac{\mathbf{資料の数値の合計}}{\mathbf{資料の全個数}}\) |
| \(\mathbf{平均値}\;=\; \cfrac{\mathbf{(階級値 \times 度数) の合計}}{\mathbf{度数の合計}}\) |
| 最頻値（さいひんち） | \(:\) モードともいい、資料の値の中で、〈最〉も現れる〈頻〉度が高い〈値〉のこと。度数分布表では、最も度数が高い階級の階級値 |
|---|
| 中央値（ちゅうおうち） | \(:\) メジアンともいい、すべての資料をその値の大きい（または小さい）順に並べたとき、〈中央〉にあるものの〈値〉 |
|---|
| \(50\) | \(58\) | \(40\) | \(63\) | \(46\) | \(49\) | \(38\) | \(48\) | \(44\) | \(56\) |
| \(39\) | \(51\) | \(59\) | \(41\) | \(65\) | \(48\) | \(57\) | \(40\) | \(53\) | \(54\) |
| \(58\) | \(48\) | \(63\) | \(41\) | \(42\) | \(61\) | \(56\) | \(53\) | \(62\) | \(47\) |
| \(51\) | \(53\) | \(44\) | \(48\) | \(61\) | \(54\) | \(43\) | \(60\) | \(46\) | \(57\) |
資料の値を小さい順に並べます
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(38\) | \(39\) | \(39\) | \(39\) | \(40\) | \(40\) | \(41\) | \(41\) | \(42\) | \(43\) |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| \(44\) | \(44\) | \(46\) | \(46\) | \(47\) | \(48\) | \(48\) | \(48\) | \(48\) | \(48\) |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
| \(48\) | \(49\) | \(50\) | \(51\) | \(51\) | \(53\) | \(53\) | \(53\) | \(54\) | \(54\) |
| 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 |
| \(56\) | \(57\) | \(57\) | \(58\) | \(58\) | \(59\) | \(60\) | \(61\) | \(62\) | \(63\) |
| \(\boldsymbol{(2)}\) 最初の階級を「\(\boldsymbol{30}kg\) 以上 \(\boldsymbol{35}kg\) 未満」 | として度数分布表をつくる |
| 体 重 \((kg)\) | 人 数 (人) |
|---|---|
| \(30\;\small{以上}\hspace{5px}\normalsize{\sim\hspace{5px}35}\;\small{未満}\) | |
| \(35\hspace{5px}\sim\hspace{5px}40\) | |
| \(40\hspace{5px}\sim\hspace{5px}45\) | |
| \(45\hspace{5px}\sim\hspace{5px}50\) | |
| \(50\hspace{5px}\sim\hspace{5px}55\) | |
| \(55\hspace{5px}\sim\hspace{5px}60\) | |
| \(60\hspace{5px}\sim\hspace{5px}65\) | |
| 計 |
| 体 重 \((kg)\) | 人 数 (人) |
|---|---|
| \(30\;\small{以上}\hspace{5px}\normalsize{\sim\hspace{5px}35}\;\small{未満}\) | \(0\) |
| \(35\hspace{5px}\sim\hspace{5px}40\) | \(4\) |
| \(40\hspace{5px}\sim\hspace{5px}45\) | \(8\) |
| \(45\hspace{5px}\sim\hspace{5px}50\) | \(10\) |
| \(50\hspace{5px}\sim\hspace{5px}55\) | \(8\) |
| \(55\hspace{5px}\sim\hspace{5px}60\) | \(6\) |
| \(60\hspace{5px}\sim\hspace{5px}65\) | \(4\) |
| 計 | \(40\) |
度数分布表を使って平均値を求めるには階級値と、\((\)階級値 \(\times\) 度数\()\) が必要になるので、 上の表に必要な項目を加えていきます。
| 階級 \((kg)\) | 階級値 | 度数 (人) | 階級値 \(\times\) 度数 |
|---|---|---|---|
| \(30\;\small{以上}\hspace{5px}\normalsize{\sim\hspace{5px}35}\;\small{未満}\) | \(32.5\) | \(0\) | \(0.0\) |
| \(35\hspace{5px}\sim\hspace{5px}40\) | \(37.5\) | \(4\) | \(150.0\) |
| \(40\hspace{5px}\sim\hspace{5px}45\) | \(42.5\) | \(8\) | \(340.0\) |
| \(45\hspace{5px}\sim\hspace{5px}50\) | \(47.5\) | \(10\) | \(475.0\) |
| \(50\hspace{5px}\sim\hspace{5px}55\) | \(52.5\) | \(8\) | \(420.0\) |
| \(55\hspace{5px}\sim\hspace{5px}60\) | \(57.5\) | \(6\) | \(345.0\) |
| \(60\hspace{5px}\sim\hspace{5px}65\) | \(62.5\) | \(4\) | \(250.0\) |
| 計 | \(40\) | \(1980.0\) |
度数分布表を利用する以外に、もとの資料を用いてそのすべての和を求める方法もありますが、 度数分布表の場合とは出た数値が異なることを覚えておいてください。 \(\boldsymbol{(4)}\) \(\boldsymbol{(2)}\) からモードを求める
度数分布表において、最も度数の高い階級は 「\(45kg\) 以上 \(\sim\;50kg\) 未満」の「\(10\)」であり、この階級の階級値がモードになるで、 \[(45+50) \div 2=\boldsymbol{47.5}kg\] になります。 \(\boldsymbol{(5)}\) \(\boldsymbol{40}\) 名の体重のメジアンを求める
中央値は、\(1\) 番最初からと \(1\) 番最後からの位置が同じところにあるので、
| \(\boldsymbol{1}\) 番目から中央値までの個数 | \(=\) 中央値から最後までの個数 |
奇数は 「\(\boldsymbol{2}\) で割ると \(\boldsymbol{1}\) 余る数」 ですから、 整数を \(n\) で表せば \[\boldsymbol{\color{darkblue}{2n+1}}\] よって、中央値は \(\boldsymbol{n+1}\) 番目の数になります。
\(n=9\) の場合、 \[\color{blue}{9=2 \times 4+1}\] より、\(4+1=5\) 番目の位置が中央値になります。
| \(\{\qquad 4\qquad\}\) | 中央値 | \(\{\qquad 4\qquad\}\) | ||||||
| \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(9\) |
偶数は 「\(\boldsymbol{2}\) で割り切れる数」 ですから、整数を \(n\) で表せば この数は \[\boldsymbol{\color{darkblue}{2n}}\] よって、度数の合計が偶数のとき、中央値は \(n\) 番目と \(n+1\) 番目の \(2\) 数の平均になります。
\(n=10\) の場合、 \[\color{blue}{10=2 \times 5}\] より、\(5\) 番目と \(6\) の数の平均が中央値になります。
| \(\{\qquad 4\qquad\}\) | 中央値 | \(\{\qquad 4\qquad\}\) | |||||||
| \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(9\) | \(10\) |