近似値と有効数字
光の速度は、ふつう、約 \(30\) 万キロメートル/秒と定義されますが、正確な値ではく、あるところまで測定して、その後を四捨五入したものになります。このような数に対しては、有効数字を使って「整数部分 \(\times \boldsymbol{10}\) の累乗」の形で表します。近似値
割り切れない数を四捨五入して表すように、「真の値」に近いものとして用いられる値を 近似値（きんじち） といい、近似値と真の値との差を誤差（ごさ）といいます。 誤差は、| 「近似値」 \(-\) 「真の値」 |
たとえば、近似値から真の値を引いた誤差の絶対値が \(a\) 以下であるとき、その \(a\) を 「誤差の限界」といいます。 ある数「\(a\)」を小数第 \(2\) 位で
| \((1)\) 四捨五入 \((2)\) 切り上げ \((3)\) 切り捨て |
四捨五入は、その位の数が \(0\;\sim\;4\) の場合は切り捨て、\(5\;\sim\;9\) の場合は切り上げることです。 小数第 \(2\) 位で四捨五入すれば、小数第 \(2\) 位の数が \(4\) 以下 \((0,\;1,\;2,\;3,\;4)\) では切り捨てるから、 \[4.50,\hspace{10px}4.51,\hspace{10px}4.52,\hspace{10px},4.53\hspace{10px},4.54\] は \(\boldsymbol{4.5}\) になります。一方、小数第 \(2\) 位の数が \(5\) 以上 \((5,\;6,\;7,\;8,\;9)\) では切り上げますが、そのとき、小数第 \(1\) 位の数が \(1\) 増えるので、 \[4.45,\hspace{10px}4.46,\hspace{10px}4.47,\hspace{10px}4.48,\hspace{10px}4.49\] も \(\boldsymbol{4.5}\) になります。
| \(←\; 4.4\) | \(\{\qquad 4.5\qquad\}\) | \(4.55\;→\) | |||||||||
| \(… 4.44\) | \(4.45\) | \(4.46\) | \(4.47\) | \(4.48\) | \(4.49\) | \(4.50\) | \(4.51\) | \(4.52\) | \(4.53\) | \(4.54\) | \(4.55 …\) |
\begin{eqnarray}
& &4.45 …,\;4.46 …,\;4.47 …,\;4.48 …\\[5px]
& &4.49 …,\;4.50 …,\;4.51 …,\;4.52 …\\[5px]
& &4.53 …,\;4.54 …
\end{eqnarray}
が、小数第 \(2\) 位で四捨五入すると、\(4.5\) になります。よって、これらの中で、
\begin{eqnarray}
& &\small{\mathbf{最小値}}\;:\;\normalsize{\boldsymbol{4.45}}\\[5px]
& &\hspace{7px}(=4.45\;\small{\text{で割り切れる数}}\normalsize{)}\\[5px]
& &\small{\mathbf{最大値}}\;:\;\normalsize{\boldsymbol{4.54999...}}
\end{eqnarray}
つまり、小数第 \(2\) 位で四捨五入すると \(4.5\) になる数は、
| \(\boldsymbol{4.45}\) 以上 \(\boldsymbol{4.55}\) 未満の数 |
小数第 \(2\) 位での切り上げは、小数第 \(2\) 位以下が \(0\) でなければ、小数第 \(1\) 位の数が \(1\) 増えます。 そのような数で \(4.5\) になる数には、
\begin{eqnarray}
& &4.40 …,\;4.41 …,\;4.42 …,\;4.43 …,\;4.44 ...\\[5px]
& &4.45 …,\;4.46 …,\;4.47 …,\;4.48 …,\;4.49 ...
\end{eqnarray}
このほか、小数第 \(2\) 位以下がない \(\color{darkblue}{4.5}\) もこのグループに入ります。よって、
\begin{eqnarray}
& &\small{\mathbf{最小値}}\;:\;\normalsize{\boldsymbol{4.4000... }}\\[5px]
& &\hspace{7px}(\small{\text{限りなく}}\;\normalsize{4.4}\;\small{\text{に近づく数}}\normalsize{)}\\[5px]
& &\small{\mathbf{最大値}}\;:\;\normalsize{\boldsymbol{4.5}}
\end{eqnarray}
これを \(a\) について不等号で表せば、
\[\boldsymbol{\color{blue}{4.4 \lt a ≦ 4.5}}\]
\((3)\) 切り捨て
小数第 \(2\) 位で切り捨てるとき、小数第 \(1\) 位までを残して、小数第 \(2\) 位以下を \(0\) にします。 そのような数で \(4.5\) になる数は、
\begin{eqnarray}
& &4.50 …,\;4.51 …,\;4.52 …,\;4.53 …,\;4.54 ...\\[5px]
& &4.55 …,\;4.56 …,\;4.57 …,\;4.58 …,\;4.59 ...
\end{eqnarray}
小数第 \(2\) 位以下が \(0\) の\(4.5\) も当てはまります。
\begin{eqnarray}
& &\small{\mathbf{最小値}}\;:\;\normalsize{\boldsymbol{4.5}}\\[5px]
& &\hspace{7px}(\small{\text{限りなく}}\;\normalsize{4.4}\;\small{\text{に近づく数}}\normalsize{)}\\[5px]
& &\small{\mathbf{最大値}}\;:\;\normalsize{\boldsymbol{4.59 ...}}\\[5px]
& &(\small{\text{限りなく}}\;4.6\;\small{\text{に近づく数}}\normalsize{)}
\end{eqnarray}
これを \(a\) について不等号で表せば、
\[∴\quad \boldsymbol{\color{blue}{4.5 ≦ a \lt 4.6}}\]
有効数字
体重をはかるとき、 \(\color{crimson}{a)\;48.5kg \quad b)\;48.50kg}\) と測定する \(2\) つの体重計があるとします。このときの測定値はどちらも近似値であり、一定の誤差の範囲を設けて、 それぞれ割り切れない端数（はすう）を四捨五入して測定値として表示しています。 このとき、それぞれの真の値の範囲は、 \begin{eqnarray} & &a)\;48.5kg →\\[5px] & &\quad \color{blue}{48.45 ≦ \small{\text{真の値}} \normalsize{\lt 48.55}}\\[10px] & &b)\;48.50kg →\\[5px] & &\quad \color{blue}{48.495 ≦ \small{\text{真の値}} \normalsize{\lt 48.505}} \end{eqnarray} 体重計 \(b\) の方がより誤差が小さくなります。測定値などの近似値は限りなく真の値に近づけるように正確に測定することが大切であり、より信頼できるものになります。 測定値や近似値のうち、誤差のある信頼できない部分を除く数字を有効数字（ゆうこうすうじ）といいます。| ・有効数字 | : 近似値や測定値の中で信頼しても良い数字のこと |
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―― \(0\) 以外ではじめて出てくる数は「\(4\)」なので \[\boldsymbol{4\cdot 8\cdot 5 →\;\small{\text{有効数字のケタ数}}\;\normalsize{=\color{blue}{3}}}\] 有効数字のケタ数は、左から何番目の位で四捨五入されているかを示すものになります。「\(48.5\)」では、有効数字のケタ数が「\(3\)」だから、小数第 \(2\) 位で四捨五入されています。したがって、範囲は、「\(48.45\) 以上 \(48.55\) 未満」であり、「\(48.50\)」では、真の値の範囲が「\(47.495\) 以上 \(48.505\) 未満」 だから、両者は大きさが同じでも意味が異なります。「\(48.5\)」の有効数字のケタ数を「\(3\)」から「\(2\)」にしたいなら、小数第\(1\)位を四捨五入して「\(\color{red}{49}\)」にします。 ただし、範囲は、「\(48.5\) 以上 \(50.5\) 未満」 になります。 「光が \(1\) 秒間に進む速さは秒速約 \(30\)万\(km\) である」 という場合、どこまで測定してどこを四捨五入した値なのか判断できないので、有効数字が何ケタなのか分かりません。 このようなとき、整数部分と \(10\) の累乗、または \(10\) の累乗の逆数との積の形で表現します。 \begin{eqnarray} & &300,000=3 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10\\[5px] & &・\small{\text{有効数字のケタ数}}\;\normalsize{:[1]\;\boldsymbol{\color{blue}{3 \times 10^5}}\;(km)}\\[5px] & &・\small{\text{有効数字のケタ数}}\;\normalsize{:[2]\;\boldsymbol{\color{blue}{3.0 \times 10^5}}\;(km)} \end{eqnarray} 次の近似値を、［ ］内に示された数を有効数字のケタ数として、整数部分が \(1\) ケタの小数と \(10\) の累乗の形で表してみましょう。 \(\boldsymbol{(1)\quad45\;[\;\color{blue}{2}}\;]\) \[\small{\text{有効ケタ数}}\normalsize{=2\;→}\;\small{\text{有効数字}}\;\normalsize{4.5}\] よって、 \begin{eqnarray} & &4.5 \times x=45\\[5px] & &x=45 \div 4.5\\[5px] & &\hspace{11px}=10 \end{eqnarray} になり、\(\boldsymbol{4.5}\) を \(\boldsymbol{10}\) 倍した数 になり、 \begin{eqnarray} & &45=4.5 \times 10\\[5px] & &\hspace{7px}(10^1 \small{\text{とはしない}}) \end{eqnarray} \(\boldsymbol{(2)\quad 0.00048\;[\;\color{blue}{2}\;]}\) \[\small{\text{有効ケタ数}}\normalsize{=2\; →}\;\small{\text{有効数字}}\;\normalsize{4.8}\] よって、 \begin{eqnarray} & &4.8 \times x=0.00048\\[5px] & &x=0.00048 \div 4.8\\[5px] & &\;=0.00048 \color{red}{\times 100000} \div 4.8 \color{red}{\times 100000}\\[5px] & &\;=\frac{48}{480000}=\frac{1}{10000}\\[5px] & &x=\frac{1}{10000} \end{eqnarray} より、
\(4.8\) を \(1\) 万分の \(1\) 倍した数になるから、 \begin{eqnarray} & &4.8 \div 10 \div 10 \div 10 \div 10\\[5px] & &4.8 \times \frac{1}{10} \times \frac{1}{10} \times \frac{1}{10} \times \frac{1}{10}\\[5px] & &\;=\boldsymbol{4.8 \times \frac{1}{10^4}} \end{eqnarray} \(\boldsymbol{(3)\quad 375000\;[\;\color{blue}{4}\;]}\)
「\(0\)」も有効であるから、 \[\small{\text{有効ケタ数}}\normalsize{=4\; →}\;\small{\text{有効数字}}\;\normalsize{3.750}\] よって、 \begin{eqnarray} & &3.750 \times x=375000\\[5px] & &x=375000 \div 3.750\\[5px] & &\hspace{11px}=\frac{375000}{3.750}=\frac{100000}{1}\\[5px] & &\hspace{11px}=\boldsymbol{100000} \end{eqnarray} より、 \(3.750\) を \(10\) 万倍した数になり、 \begin{eqnarray} & &375000\\[5px] & &\;=3.750 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10\\[5px] & &\;=\boldsymbol{3.750 \times 10^5} \end{eqnarray} のように表せます。