特別な平行四辺形
四角形の中で、長方形、ひし形、正方形は平行四辺形になる条件を満たしており、みな平行四辺形です。したがって、これらの図形は特別な平行四辺形と呼ばれています。 四角形という図形の関係を見ると、次のようになります。| \(\small{①}\) | 四角形の \(\boldsymbol{1}\) 組の向かい合う辺を平行にする |
| ：台 形 | |
| \(\small{②}\) | 四角形の \(\boldsymbol{2}\) 組の向かい合う辺を平行にする平行四辺形 |
| ：平行四辺形 | |
| \(\small{③}\) | 四角形の \(\boldsymbol{4}\) つの角をすべて等しくする |
| ：長方形 | |
| \(\small{④}\) | 四角形の \(\boldsymbol{4}\) つの辺をすべて等しくする |
| ：ひし形 | |
| \(\small{⑤}\) | 四角形の \(\boldsymbol{4}\) つの辺と角をすべて等しくする |
| ：正方形 |
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平行四辺形が長方形になる条件
長方形の定義は、次のようになります。| 長方形 | \(\boldsymbol{4}\) つの内角がすべて等しい \((=90^{\circ})\) 四角形を長方形という |
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長方形の定理 \(\boldsymbol{1}\)
| ―― | 平行四辺形の \(\boldsymbol{1}\) つの内角が \(\boldsymbol{90^{\circ}}\) のとき、この平行四辺形は長方形である |
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平行四辺形 \(\boldsymbol{ABCD}\) において、 \begin{eqnarray} & &\boldsymbol{∠A=∠C,\;∠B=∠D}\;――\;1\;\small{(\color{red}{平行四辺形の性質})}\\[7px] & &∠A=∠C=\boldsymbol{x},\\ & &∠B=∠D=\boldsymbol{y}\\[7px] & &\small{とすると、}\\ & &\small{四角形の内角の和は}\;\normalsize{360^{\circ}}\;\small{だから}\\ & &∠A+∠B+∠C+∠D=360^{\circ}\\ & &\small{より}\\[7px] & &x+y+x+y=360\\ & &2x+2y=360\\ & &2(x+y)=360\\ & &x+y=\boldsymbol{180^{\circ}}\;――\;2 \end{eqnarray} よって、
平行四辺形のとなり合う内角の和は \(\boldsymbol{180^{\circ}}\)
仮定より、この平行四辺形の \(1\) つの内角が\(90^{\circ}\) であるから \begin{eqnarray} & &∠A=90^{\circ}\\[7px] & &\small{とすると、}\\ & &\boldsymbol{∠A=∠C=90^{\circ}}\;――\;3\\[7px] & &2\; \small{より、}\\ & &∠A+∠B=x+y=180\\ & &\small{から}\\[7px] & &90+y=180\\ & &y=180-90=90^{\circ}\\[7px] & &\small{これにより、}\\ & &\boldsymbol{∠B=∠D=90^{\circ}}\;――\;4\\[7px] \end{eqnarray} \(3,\;4\) より、 \[\boldsymbol{∠A=∠B=∠C=∠D=90^{\circ}}\] となり、 すべての内角が \(\boldsymbol{90^{\circ}}\) である四角形は長方形であるから、
\(\boldsymbol{1}\) つの内角が \(\boldsymbol{90^{\circ}}\) である平行四辺形 \(\boldsymbol{ABCD}\) は長方形である … 証明終わり
長方形の定理 \(\boldsymbol{2}\)
| ―― | 長方形の対角線の長さは等しい |
| 仮 定： | 平行四辺形の \(\boldsymbol{2}\) 本の対角線の長さが等しい |
| 結 論： | その平行四辺形は長方形である |
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平行四辺形 \(ABCD\) において、 \begin{eqnarray} & &\boldsymbol{AB=CD,\;AD=BC}\;――\;1\\[7px] & &\boldsymbol{∠A=∠C,\;∠B=∠D}\;――\;2 \end{eqnarray} \(\boldsymbol{△ABC}\) と \(\boldsymbol{△DBC}\) において、
\(1\) より、 \begin{eqnarray} & &\boldsymbol{AB=DC}\;――\;3\\[7px] & &\boldsymbol{BC=CA}\;――\;4\;\small{(\color{red}{共通の辺})}\\[7px] & &\small{また、仮定より、}\\[7px] & &\boldsymbol{AC=DB}\;――\;5 \end{eqnarray} \(3,\;4,\;5\) より、
\(\boldsymbol{3}\) 辺がそれぞれ等しい \(\boldsymbol{2}\) つの三角形は合同であるから、 \[\boldsymbol{△ABC ≡ △DBC}\] 合同な \(\boldsymbol{2}\) つの三角形の対応する角はすべて等しいので、 \[\boldsymbol{∠B=∠C}\;――\;6\] よって、\(2\) より \[\boldsymbol{\color{blue}{∠A=∠B=∠C=∠D}}\] \(\boldsymbol{4}\) つの内角がすべて等しい四角形は長方形であるので、平行四辺形 \(\boldsymbol{ABCD}\) は長方形になり、 長方形の対角線の長さは等しい … 証明終わり 以上のことから、平行四辺形が長方形になる条件は
| \(\boldsymbol{a)}\) | 平行四辺形の \(\boldsymbol{1}\) つの内角が直角 \((\color{blue}{=90^{\circ}})\) であるとき |
| \(\boldsymbol{b)}\) | 平行四辺形の対角線の長さが等しいとき |
平行四辺形がひし形になる条件
ひし形の定義は、次のようになります。| ひし形 | ：\(\boldsymbol{4}\) つの辺がすべて等しい四角形をひし形という |
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ひし形の定理 \(\boldsymbol{1}\)
| ―― | 平行四辺形のとなり合う \(\boldsymbol{2}\) 辺が等しいとき、その平行四辺形はひし形である |
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平行四辺形 \(\boldsymbol{ABCD}\) において、 \begin{eqnarray} & &\small{仮定より、}\\[5px] & &\boldsymbol{AB=BC}\;――\;1 \end{eqnarray} 平行四辺形の \(\boldsymbol{2}\) 組の向かい合う辺の長さは等しいので \[\boldsymbol{AB=DC,\;BC=AD}\;――\;2\] \(1,\;2\) より、 \[\boldsymbol{\color{blue}{AB=BC=CD=DA}}\] となり、
\(\boldsymbol{4}\) つの辺がすべて等しい四角形はひし形であるから、となり合う \(\boldsymbol{2}\) 辺が等しい平行四辺形はひし形である … 証明終わり
ひし形の定理 \(\boldsymbol{2}\)
| ―― | 平行四辺形の対角線が垂直に交わるならば、この平行四辺形はひし形である |
| 仮定：平行四辺形の対角線が垂直に交わる |
| 結論：平行四辺形はひし形である |
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平行四辺形 \(ABCD\) の \(2\) 本の対角線の交点を \(O\) とする
平行四辺形の \(2\) 組の向かい合う辺は等しいので \[\boldsymbol{AB=DC,\;BC=AD}\;――\;1\] \(\boldsymbol{△ABO}\) と \(\boldsymbol{△ADO}\) において、
仮定より、 \[\boldsymbol{∠AOB = ∠AOD = 90^{\circ}}\;――\;2\] 平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるので、 \begin{eqnarray} & &\boldsymbol{BO=DO}\;――\;3\\[7px] & &\boldsymbol{AO=OA}\;――\;4\;\small{(\color{red}{共通の辺})} \end{eqnarray} \(2,\;3,\;4\) より、
\(\boldsymbol{2}\) 辺とその間の角がそれぞれ等しい \(\boldsymbol{2}\) つの三角形は合同であるから、 \[\boldsymbol{△ABO ≡ △ADO}\] 合同な \(\boldsymbol{2}\) つの三角形の対応する辺の長さはすべて等しいので、 \[\boldsymbol{AB=AD}\;――\;5\] \(1,\;5\) より、 \[\boldsymbol{\color{blue}{AB=BC=CD=DA}}\] \(\boldsymbol{4}\) つの辺がすべて等しい四角形はひし形であるから、対角線が垂直にまじわる平行四辺形はひし形である … 証明終わり 以上のことから、平行四辺形がひし形になる条件は
| \(\boldsymbol{a)}\) 平行四辺形の \(\boldsymbol{1}\) 組のとなり合う辺が等しいとき |
| \(\boldsymbol{b)}\) 平行四辺形の対角線が垂直に交わるとき |
平行四辺形が正方形になる条件
正方形の定義は、次のようになります。| 正方形 | ：\(\boldsymbol{4}\) つの辺と \(\boldsymbol{4}\) つの角がすべて等しい四角形を正方形という |
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