高校入試[英語・数学]学習｜三角形と四角形：重要問題

重要問題

過去に出題された三角形と四角形の入試問題の中から重要なものを取り上げます。

三角形の合同証明

問　題
図において、\(△ABC\) の辺 \(BC\) の中点を \(M\) とし、点 \(B\) を通り辺 \(AC\) に平行な直線と \(AM\) との交点を \(D\) とするとき、\(BD=CA\) であることを、\(△BDM ≡ △CAM\) を示すことで証明しなさい。

証　明
\(\boldsymbol{1)}\)　\(\boldsymbol{△BDM}\) と \(\boldsymbol{△CAM}\) において、 \begin{eqnarray} & &\small{仮定より、}\\[7px] & &\boldsymbol{BM=CM}\;――\;1\;\small{(\color{red}{BC の中点 M})}\\[7px] & &\boldsymbol{∠MCA=∠MBD}\;――\;2\;\small{(\color{red}{平行線の錯角})}\\[7px] & &\boldsymbol{∠AMC=∠BMD}\;――\;3\;\small{(\color{red}{対頂角})}\\[7px] \end{eqnarray}

\(1\;\sim\;3\) より、
\(\boldsymbol{1}\) 辺とその両端の角がそれぞれ等しい \(\boldsymbol{2}\) つの三角形は合同 であるから、 \[\boldsymbol{△BDM ≡ △CAM}\]

合同な図形の対応する辺の長さはすべて等しいので、 \[\boldsymbol{\color{blue}{BD=CA}}\] である　…　証明終わり

平行四辺形の性質

問　題
図において、平行四辺形 \(ABCD\) の \(2\) 本の対角線の交点を \(O\) として、辺 \(BC\) 上に \(2\) 点 \(E,\;F\) があり、 \(AO=EO,\;OF\;/\!/\;DC\) である。 \(∠CAD=40^{\circ},\;∠ACD=72^{\circ}\) であるとき、\(∠EOF\) の大きさを求めなさい。

証　明 \begin{eqnarray} & &\small{仮定より、}\\[7px] & &\boldsymbol{AO=EO}\;――\;1\\[7px] & &\boldsymbol{AO=CO}\;――\;2\;\small{(\color{red}{平行四辺形の性質})} \end{eqnarray} \(1,\;2\) より、
\(\boldsymbol{△OEC}\) は二等辺三角形になるから、

\(\boldsymbol{∠OEC=∠OCE}\)

\(――\;3\;\small{(\color{red}{二等辺三角形の底角})}\)

より、 \[\boldsymbol{∠OEF=∠OCF}\;――\;4\] また、仮定より、

\(\boldsymbol{∠EFO=∠BCD}\)

\(――\;5\;\small{(\color{red}{平行線の同位角})}\)

これにより、 \begin{eqnarray} ∠EOF&=&180-(∠OEF+∠OFE)\\[5px] &=&180-(40+112)\\[5px] &=&180-152\\[5px] &=&\boldsymbol{\color{blue}{28^{\circ}}}\;…\;答え \end{eqnarray}

面積比

問　題
図において、\(AF\;:\;FC=2\;:\;1,\;BE\;:\;EC=3\;:\;2\) であるとき、

\(1)\)　面積比 \(△ABG\;:\;△ACG\) を求めなさい。

\(2)\)　面積比 \(△ACG\;:\;△CBG\) を求めなさい。

\(3)\)　\(AD\;:\;DB\) を求めなさい。

解答と解説
\(1)\)　\(\boldsymbol{△ABG}\) と \(\boldsymbol{△ACG}\) において、 \begin{eqnarray} & &\boldsymbol{△ABG=△ABE-△GBE}\;――\;1\\[7px] & &\boldsymbol{△ACG=△ACE-△GCE}\;――\;2\\[10px] & &面積比△ABE\;:\;△ACE\\ & &\hspace{12px}=\boldsymbol{2\;:\;3}\\[10px] & &面積比△GBE\;:\;△GCE\\ & &\hspace{12px}=\boldsymbol{2\;:\;3}\;――\;3 \end{eqnarray} よって、 \[\boldsymbol{\color{blue}{△ABG\;:\;△ACG=2\;:\;3}}\]

\(2)\)　\(\boldsymbol{△ACG}\) と \(\boldsymbol{△BCG}\) において、 \begin{eqnarray} & &\boldsymbol{△ACG=△ACD-△GAD}\;――\;1\\[5px] & &\boldsymbol{△BCG=△BCD-△GBD}\;――\;2\\[10px] & &面積比△ABD\;:\;△CBD\\ & &=\boldsymbol{2\;:\;1}\\[10px] & &面積比△GAD\;:\;△GBD\\ & &=\boldsymbol{2\;:\;3}\;――\;3 \end{eqnarray} よって、 \[\boldsymbol{\color{blue}{△ABG\;:\;△BCG=2\;:\;1}}\]

\(3)\)　\(1),\;2)\) より、 \begin{eqnarray} & &△ABG\;:\;△ACG=2\;:\;3,\\[5px] & &△ACG\;:\;△BCG=2\;:\;1 \end{eqnarray} であるとき、これらの比をそろえて \[\boldsymbol{\color{crimson}{△ABG\;:\;△ACG\;:\;△BCG}}\] に直します。 \begin{eqnarray} & &面積比△ABG\;:\;△ACG\\ & &=2 \times 2\;:\;3 \times 2\\ & &=\boldsymbol{4\;:\;6}\\[10px] & &面積比△ACG\;:\;△BCG\\ & &=3 \times 2\;:\;3 \times 1\\ & &=\boldsymbol{6\;:\;3}\\[10px] & &\small{よって、}\\[10px] & &△ABG\;:\;△ACG\;:\;△BCG\\ & &=\boldsymbol{4\;:\;6\;:\;3} \end{eqnarray}

∴　上の図より、 \begin{eqnarray} & &△ABG\;:\;△CBG=AF\;:\;CF\\[5px] & &=\boldsymbol{\color{blue}{4\;:\;3}}\;…\;答え \end{eqnarray}

チェバの定理：

上の問題の \(3)\) は、チェバの定理を利用して解くことができます。

この定理を利用して、 \begin{eqnarray} & &\frac{2}{1} \times \frac{2}{3} \times \frac{CF}{FA}=1\\[7px] & &\frac{CF}{FA}=1 \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{2}\\ & &\hspace{37px}=1 \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{2}\\ & &\hspace{37px}=\frac{3}{4} \end{eqnarray}

\[\boldsymbol{∴\quad A\;:\;FE=\color{blue}{4\;:\;3}}\]