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正の数・負の数の利用

これまで学んだ正の数・負の数の計算を利用して、身の回りの出来事を解決してみてください。たとえば、自然数、整数、分数があって、 それぞれに四則計算を行った場合の答えがその数になるかどうかを表にまとめます。

数の集合

ものの集まりを集合(しゅうごう)といいます。 自然数全体の集まりは自然数の集合、 自然数のほかに、\(0\) や負の整数全体の集まりなら整数の集合になります。 数の集合には、整数以外に、小数や分数も含み、 集合を、自然数から整数、分数へと広げれば、計算の範囲も広がります。

□ と △ にどんな自然数を入れても、計算の結果が常に自然数になるのはどれでしょう。
\((1)\quad\;\) □\(+\)△ \((2)\quad\;\) □\(-\)△
\((3)\quad\;\) □ \(\times\) △ \((4)\quad\;\) □ \(\div\) △

\((1),\;(3)\) は、 \begin{eqnarray} & &3+7=10\\[5px] & &3 \times 7=21 \end{eqnarray} と常に自然数になりますが、 \begin{eqnarray} & &3-7=-4\\[5px] & &3 \div 7=\frac{3}{7} \end{eqnarray} のように、\((2),\;(4)\) では、自然数にならない場合があります。 つまり、自然数の加法と乗法は、計算の結果が常に自然数になりますが、 減法と除法は計算の結果が常に自然数にならない場合があります。 次に、 □ と △ にどんな整数を入れても、計算の結果が常に整数になるか どうか見ていきます \((1),\;(2)\;(3)\) は、 \begin{eqnarray} & &2+(-3)=-1\\[5px] & &2-(-3)=2+3\\[5px] & &=5\\[5px] & &2 \times (-3)=-6 \end{eqnarray} のように、常に整数になりますが、\((4)\) は、 \[2 \div (-3)=-\cfrac{2}{3}\] のように、整数にならない場合があります。 つまり、整数の加法、減法、乗法は、計算の結果が常に整数になりますが、 除法の場合、計算の結果が常に整数にならない場合があります。 また、分数どうしの計算の場合、整数になることもあります。 ただ、整数=分母 \(1\) の分数 とみなせば、加減乗除すべての計算結果 が常に分数になります。これをまとめると、

加 法 減 法 乗 法 除 法
自然数
整 数
分 数

例 題

\(xyz \gt 0,\quad \cfrac{y}{x} \lt 0,\quad x-y \lt 0\) のとき、次の式の値は正の数か負の数か答えなさい。

\((1)\quad x+z\) \((2)\quad \cfrac{z-y}{x}\)
\begin{eqnarray} & &\frac{y}{x} \lt 0\\[5px] & &\small{\text{より、}}\\[5px] & &\color{red}{x,\;y\;\small{\text{は異符号 ―― ①}}}\\[10px] & &x-y \lt 0\\[5px] & &\small{\text{より、}}\\[5px] & &\color{red}{x \lt y\;\small{\text{ ―― ②}}}\\[10px] & &\small{\text{①② より、}}\\[5px] & &x\;\small{\text{は負の数、}}\normalsize{y}\;\small{\text{は正の数}}\\[5px] & &xyz \gt 0\\[5px] & &\small{\text{より、}}\\[5px] & &\color{red}{z\; \small{\text{は負の数 ―― ③}}}\\[10px] & &\small{\text{③ より、}}\\[5px] & &\color{red}{z-y=\small{\text{負の数 ―― ④}}}\\[12px] & &(1)\quad\;\boldsymbol{\color{blue}{\text{負の数}}}\;\small{\text{ … 答え}}\\[5px] & &(2)\quad\;\frac{z-y}{x}=\frac{\text{負の数}}{\text{負の数}}\\[5px] & &\hspace{50px}∴\quad\;\boldsymbol{\color{blue}{\text{正の数}}}\;\small{\text{ … 答え}} \end{eqnarray}

魔方陣

たてに \(n,\) 横に \(n\) 個の正方形の方陣(ほうじん)に数字を配置し、 たて・横・斜めのどの列についても、数の合計が同じになるものを 魔方陣(まほうじん)といいます。方陣とは、兵士を方形に配列する陣形のことです。

魔方陣の解き方

\(5\) \(0\)
\(\) \(2\)
\(-1\)

上図のたて・横・斜め どの \(3\) 数を加えても、和が等しくなるようにしますが、 まず、斜めの数の和を求めます。 \begin{eqnarray} & &\small{\text{斜めの数の和}}\\[5px] & &\;=5+2+(-1)=6\; \small{\text{… ①}} \end{eqnarray} ① より、 すべての方向の \(3\) 数の和 を \(6\) にします

\(5\) \(0\) \(\color{blue}{1}\)
\(2\)
\(-1\)

\(5\) \(0\) \(1\)
\(2\) \(\color{blue}{6}\)
\(-1\)

\(5\) \(0\) \(1\)
\(2\) \(6\)
\(\color{blue}{4}\) \(-1\)

\(5\) \(0\) \(1\)
\(2\) \(6\)
\(\color{blue}{3}\) \(4\) \(-1\)

\(5\) \(0\) \(1\)
\(\color{blue}{-2}\) \(2\) \(6\)
\(3\) \(4\) \(-1\)

例 題

マス目の中には、 \(1\) から \(9\) までの数字が入っており、 たて・横・斜めすべての合計が等しいとき、

\((1)\quad b+c\) の値を求めなさい \((2)\quad a\) の数字を答えなさい

\(a\) \(d\) \(2\)
\(b\) \(c\) \(e\)
\(8\) \(1\) \(f\)

解 説
\(1\) から \(9\) までの異なる数字が入る \(3 \times 3\) の魔方陣において、

\(a\) \(b\) \(c\)
\(d\) \(e\) \(f\)
\(g\) \(h\) \(i\)

\begin{eqnarray} & &a+b+c=A\\[5px] & &d+e+f=A\\[5px] & &g+h+i=A\\[5px] & &a+b+c+d+e+f+g+h+i=3A\\[5px] & &1+2+3+4+5+6+7+8+9=45=3A\\[5px] & &\boldsymbol{∴ A=15} \end{eqnarray} よって、
たて・横・斜めそれぞれの和が \(15\) になります
したがって、図より、 \begin{eqnarray} & &8+1+f=15\\[5px] & &f=15-9\\[5px] & &\;=\boldsymbol{\color{blue}{6}}\\[12px] & &2+e+6=15\\[5px] & &e=15-8\\[5px] & &\;=\boldsymbol{\color{blue}{7}}\\[12px] & &8+c+2=15\\[5px] & &c=15-10\\[5px] & &\;=\boldsymbol{\color{blue}{5}}\\[12px] & &1+3+d=15\\[5px] & &d=15-4\\[5px] & &\;=\boldsymbol{\color{blue}{9}}\\[12px] & &b+5+7=15\\[5px] & &b=15-12\\[5px] & &\;=\boldsymbol{\color{blue}{3}}\\[12px] & &a+3+8=15\\[5px] & &a=15-11\\[5px] & &\;=\boldsymbol{\color{blue}{4}} \end{eqnarray} \((1)\) \(b+c=3+5=\boldsymbol{8}\) … 答え
\((2)\) \(a=\boldsymbol{4}\) … 答え

\(\color{blue}{4}\) \(\color{blue}{9}\) \(2\)
\(\color{blue}{3}\) \(\color{blue}{5}\) \(\color{blue}{7}\)
\(8\) \(1\) \(\color{blue}{6}\)

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