高校入試[英語・数学]学習｜平面が \(1\) つに決まる条件

平面が \(\boldsymbol{1}\) つに決まる条件

平面は、平らな表面のことで、どこまでも広がる面をいいます。また、平面上に描かれた図形を平面図形と呼びます。

たとえば、同じ直線上にない \(3\) つの点を結ぶと、図のような三角形という面がつくられます。

しかし、点が \(2\) つでは面にはなりません。三角形は面をつくる最も基本的な形であり、これをどこまでも広げていけば \(1\) つの平面になります。このことから、

「同じ直線上にない \(\boldsymbol{3}\) つの点が存在すること」

が平面が \(\boldsymbol{1}\) つに決まる条件になります。次のことがらが、「平面」が決まる条件として成り立つかを調べてみましょう。

・	交わる \(\boldsymbol{2}\) 直線
	\(1\) つの直線ができるためには \(2\) 点が必要になります。次に、直線上にない別の \(1\) 点をとり、その点と直線上の \(2\) 点のうちの \(1\) 点とを結べば、交わる \(2\) つの直線ができます。

交わる \(2\) 直線には、同一直線上にない \(3\) つの点が含まれ、平面が \(1\) つに決まる条件を満たしています。

・	平行な \(\boldsymbol{2}\) 直線
	\(1\) つの直線ができる条件は \(2\) つの点が存在することですが、平行な \(2\) 直線が存在するには「交わる \(2\) 直線」と同じく、その直線上はない別のもう \(1\) 点が必要になります。平行な \(2\) 直線の作り方は図のようになります。

\(\small{①}\)	直線上にない \(1\) 点を中心とし、直線上の \(1\) 点を結ぶ線分を半径とする円を直線と交わるように描く
\(\small{②}\)	\(\small{①}\) と同じ大きさで、直線上の \(1\) 点を中心とする円を描く
\(\small{③}\)	\(\small{②}\)の円と直線との交点を中心とする\(\small{①②}\)と同じ大きさの円を描く

これも同じ直線上にない \(3\) つの点が存在するので平面が \(1\) つに決まる条件を満たしています。

・	\(\boldsymbol{1}\) 直線とその直線上にない \(\boldsymbol{1}\) 点
	\(1\) 直線をつくるには \(2\) つの点が必要であり、その直線上にない \(1\) 点が加わることで、「同じ直線上にない \(1\) つの点」という条件が整います。

・	\(\boldsymbol{1}\) 直線上にない \(\boldsymbol{4}\) つの点
	同じ直線上にない \(3\) つの点によって \(1\) つの平面ができますが、 \(4\) つ目の点が加わるとどうでしょう。もし、その点が「\(1\) 直線上にない \(3\) 点」がつくる平面内にあれば、平面を作る役割りを果たしますが、そうでない場合は平面をつくる要素にはなりません。

このことから、平面が \(\boldsymbol{1}\) つに決まる条件は次の \(\boldsymbol{4}\) つになります。

・同じ直線上にない \(\boldsymbol{3}\) 点

・交わる \(\boldsymbol{2}\) 直線

・平行な \(\boldsymbol{2}\) 直線

・ \(\boldsymbol{1}\) 直線とその直線上にない \(\boldsymbol{1}\) 点