高校入試[英語・数学]| 円周角の定理

円周角の定理

\(1\) つの円内において、\(\boldsymbol{1}\) つの弧に対する円周角の大きさは一定で、その弧に対する中心角の半分である」という性質があり、これを円周角の定理といいます。

円周角の定理の証明

円周角の定理の証明にはいくつか方法があります。

図において、円 \(O\) の円周上に \(3\) 点 \(A,\;B,\;P\) があり、\(\boldsymbol{∠APB}\) は弧 \(AB\) に対する円周角、 \(\boldsymbol{∠AOB}\) は弧AB に対する中心角をそれぞれ表しています。

中心が円周角の内側にある場合

点 \(P,\;O\) を通る直線と円 \(O\) との交点で、\(P\) と異なる点 \(Q\) をとると図のようになります。

このようにすると、\(OA,\;OB,\;OP\) はどれも円 \(O\) の半径になので、 \[\boldsymbol{OA=OB=OP}\;――\;1\] よって、\(△OPA\) と \(△OBP\) は二等辺三角形になります。二等辺三角形の底角は等しいので、 \begin{eqnarray} & &\boldsymbol{∠OPA=∠OAP,\quad ∠OPB=∠OBP}\:――\;2\\[12px] & &∠OPA=∠OAP=a,\\ & &∠OPB=∠OBP=b\\ & &\small{とすると、}\\[7px] & &∠AOQ=∠OPA+∠OAP\\ & &\hspace{58px}=a+a=\boldsymbol{2a}\;――\;3\\ & &→\quad\color{crimson}{△OPA\;\small{の外角}}\\[12px] & &∠BOQ=∠OPB+∠OBP\\ & &\hspace{58px}=b+b=\boldsymbol{2b}\;――\;4\\ & &→\quad\color{crimson}{△OBP\;\small{の外角}} \end{eqnarray}

このとき、

円 \(\boldsymbol{O}\) の円周角 : \(\boldsymbol{a+b}\)

円 \(\boldsymbol{O}\) の中心角 : \(\boldsymbol{2a+2b=2(a+b)}\)

となり、

\(∠AOB=2∠APB\)

∴ \(\boldsymbol{∠APB=\cfrac{1}{2}∠AOB}\)

…　証明終わり

中心が直線 \(\boldsymbol{PA\;(PB)}\) 上にある場合

\(PA,\;PB\) のどちらでも、中心 \(O\) を通る直線になり、同じ結果が得られるので、一方だけについて述べます。

図より、

\begin{eqnarray} & &△OPB\; \small{において、}\\ & &\boldsymbol{OB=OP}\;――\;1\;\small{\color{crimson}{(円\;O\;の半径)}}\\[7px] & &\small{より、二等辺三角形であり}\\ & &\boldsymbol{∠OPB=∠OBP}\;――\;2\;\small{\color{crimson}{(二等辺三角形の底角)}}\\[7px] & &\small{また、}\normalsize{∠AOB}\; \small{は}\\ & &△OPB\; \small{の外角だから、}\\ & &∠AOB=∠OPB+∠OBP\\[7px] & &2\;\small{より、}\\ & &\boldsymbol{∠AOB=2∠OPB} \end{eqnarray}

∴ \(\boldsymbol{∠APB=\cfrac{1}{2}∠AOB}\)

…　証明終わり

中心が円周角の外部にある場合

証明しやすくするため補助線を引きます。

直線 \(PO\) を延長して \(P\) でない方の円周との交点を \(Q\) とすると、

\(△OAP\) は \(OA=OP\) の二等辺三角形であり、\(∠QOA\) は \(△OAP\) の外角だから、 \begin{eqnarray} & &∠QPA=a\;\small{とすると、}\\[7px] & &∠QOA=a+a\\ & &\hspace{58px}=2a\;――\;1 \end{eqnarray} 同じく、\(△OBP\) は \(OB=OP\) の二等辺三角形であり、\(∠QOB\) は \(△OBP\) の外角だから \begin{eqnarray} & &∠APB=b\; \small{とすると、}\\ & &∠QOB=(a+b)+(a+b)\\ & &\hspace{58px}=2(a+b)\;――\;2\\[7px] & &1,\;2\; \small{より、}\\ & &∠QOB=∠QOA+∠AOB\\ & &2(a+b)=2a+∠AOB\\ & &∠AOB=2a+2b-2a\\ & &\boldsymbol{∠AOB = 2b}\\ \end{eqnarray}

\(\boldsymbol{∴ ∠APB=\cfrac{1}{2}∠AOB}\)

以上のことから、 \(P\) のすべての位置について同じ結果を得たので、\(1\) つの弧に対する円周角はどこでも大きさは等しいことがわかります。

・	\(\boldsymbol{1}\) つの弧に対する円周角は、その弧に対する中心角の半分に等しい
・	\(\boldsymbol{1}\) つの弧に対する円周角はすべて等しい