重要問題
入試問題では、平方根の計算のルールを理解しつつ、いくつか工夫が必要なものが多く出題されます。平方根の小数部分
問 題
\(\sqrt{30}\) の小数部分を \(a\) とするとき、\(a^2+10a-15\) の値を求めなさい。
解 説：
\(\sqrt{30}\) に近い整数を考えます。\(\sqrt{30}\) より小さく、最も近い整数は \(\sqrt{25}=5,\;\sqrt{30}\) より大きく、
最も近い整数は \(\sqrt{36}=6\)
よって、
\begin{eqnarray}
& &\sqrt{25} \lt \sqrt{30} \lt \sqrt{36}\\[5px]
& &→\\[5px]
& &5 \lt \sqrt{30} \lt 6
\end{eqnarray}
したがって、\(\sqrt{30}\) の整数部分は \(5,\) 小数部分は
\[\boldsymbol{\color{crimson}{\sqrt{30}-5}}\]
になります。
これを \(a^2+10a-15\) に代入します
\begin{eqnarray}
& &(\color{blue}{\sqrt{30}-5})^2+10(\color{blue}{\sqrt{30}-5})-15\\[5px]
& &=(\sqrt{30})^2-10\sqrt{30}+25+10\sqrt{30}-50-15\\[5px]
& &=30-(10-10)\sqrt{30}+25-50-15\\[5px]
& &=30+25-50-15\\[5px]
& &=\boldsymbol{10}\;…\;答え
\end{eqnarray}
\(\sqrt{30}\) の小数部分を \(a\) とするとき、\(a^2+10a-15\) の値を求めなさい。
式の値
問 題
\(a \gt 0,\;b \gt 0\) で、次の値のとき、\((1) \; ab\hspace{20px}(2) \; \cfrac{b}{a}-\cfrac{a}{b}\) をそれぞれ求めなさい。 \begin{eqnarray} & &a^2=\frac{\sqrt{10}+3}{\sqrt{3}}\\[7px] & &b^2=\frac{\sqrt{10}-3}{\sqrt{3}} \end{eqnarray}
解 説
\(a \gt 0,\;b \gt 0\) で、次の値のとき、\((1) \; ab\hspace{20px}(2) \; \cfrac{b}{a}-\cfrac{a}{b}\) をそれぞれ求めなさい。 \begin{eqnarray} & &a^2=\frac{\sqrt{10}+3}{\sqrt{3}}\\[7px] & &b^2=\frac{\sqrt{10}-3}{\sqrt{3}} \end{eqnarray}
\(\boldsymbol{(1)}\) \begin{eqnarray} & &(ab)^2=a^2b^2\\ & &\small{より、}\\[12px] & &\frac{\sqrt{10}+3}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{10}-3}{\sqrt{3}}\\[7px] & &=\frac{10-9}{3}=\frac{1}{3}\\[12px] & &ab \gt 0\;\small{より、}\\[7px] & &ab=\sqrt{\frac{1}{3}}\\[7px] & &\hspace{7px}=\boldsymbol{\frac{\sqrt{3}}{3}}\;…\;答え \end{eqnarray} \(\boldsymbol{(2)}\) \begin{eqnarray} & &\frac{b}{a}-\cfrac{a}{b}=\frac{b^2-a^2}{ab}\\[7px] & &\small{より、}\\[12px] & &b^2-a^2=\frac{\sqrt{5}-3}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{5}+3}{\sqrt{3}}\\[7px] & &\hspace{58px}=-\frac{6}{\sqrt{3}}\\[7px] & &\hspace{58px}=-\frac{6\sqrt{3}}{3}=-2\sqrt{3}\\[7px] & &\small{よって、}\\[12px] & &\frac{b}{a}-\cfrac{a}{b}\\[7px] & &\hspace{58px}=-2\sqrt{3} \div \frac{\sqrt{3}}{3}\\[7px] & &\hspace{58px}=-2\sqrt{3} \times \frac{3}{\sqrt{3}}\\[7px] & &\hspace{58px}=-\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\[7px] & &\hspace{58px}=\boldsymbol{-6}\;…\;答え \end{eqnarray}